Большая техническая энциклопедия
2 4 7
D L N
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
Я- ЯБ ЯВ ЯГ ЯД ЯЗ ЯЙ ЯК ЯЛ ЯМ ЯН ЯП ЯР ЯС ЯУ ЯЧ ЯЩ

Ядро - интегральный оператор

 
Ядра интегрального оператора (7.36), используемого в контактных задачах для упругого полупространства ( или полуплоскости), представляют собой функцию, описывающую перемещение границы полупространства в точке ( ж, у) в результате действия на границу полупространства в точке ( х у) нормальной силы p ( x y t) dx dy, т.е. зависящую от расстояния между рассматриваемыми точками.
Ядра интегрального оператора (7.36), используемого в контактных задачах для упругого полупространства ( или полуплоскости), представляют собой функцию, описывающую перемещение границы полупространства в точке ( х, у) в результате действия на границу полупространства в точке ( х у) нормальной силы p ( x y t) dx dy, т.е. зависящую от расстояния между рассматриваемыми точками.
Таким образом, ядра интегральных операторов М ( т) и М-1 ( ц) просто определяются самим фундаментальным решением волновых уравнений. Рассмотрим теперь конкретные волновые задачи.
Точное представление символа ядра интегрального оператора применяется в случае, когда он наряду с полюсами имеет точки ветвления на вещественной оси ( слоисто-неоднородное полупространство), что не позволяет строить приемлемые аппроксимации. Это обусловливает необходимость использования в процессе реализации метода точных, но громоздких и неудобных для численной реализации представлений символа ядра, что ведет к определенному повышению затрат вычислительных ресурсов и в некоторой мере снижает эффективность метода.
Вместо уравнения (1.12) для ядра интегрального оператора (1.10) Ф более удобно рассматривать непосредственно уравнения для поверхностной концентрации и локального диффузионного потока - г величин, имеющих ясный физический смысл.
При решении этой задачи конечно-разностный аналог ядра интегрального оператора строился исходя из кусочно-постоянной аппроксимации функции, задающей распределение температуры на внутренней поверхности, Взята сетка с шагом Ах 10 мм, на которой температурное воздействие последовательно на каждом интервале сетки принималось постоянным и равным Т0 const при нулевом значении температуры на всей остальной части поверхности.
В задачах интерпретации косвенных данных необходимо задание ядра интегрального оператора. Ядро может задаваться разными способами: аналитически, таблично, таблично с применением тех или иных методов интерполяции. Поэтому целесообразно формирование массива, задающего ядро, осуществлять в основной программе пользователя теми средствами, которые доступны и удобны в конкретной задаче, и передавать его подпрограмме в качестве фактического параметра.
Функция д ( х у ] является ядром интегрального оператора, связывающего деформации пласта с давлением в нем.
Функция K ( x t) называется ядром интегрального оператора А.
Следствием изложенного общего метода явлются теоремы о представлении ядер интегральных операторов второй и третьей глав. Он позволяет понять природу полученных ранее разложений и строить решения более сложных задач для систем штампов, поскольку нахождение необходимого ортопроектора не составляет труда. Соответствующие примеры будут даны в следующем параграфе.
Функция К ( х, t) называется ядром интегрального оператора А.
Функция К ( s, t) называется ядром интегрального оператора U. Легко видеть, что ядро Я-почти всюду конечно.
Функция г - r ( s t) назьшается ядром интегрального оператора А.
К первой группе относятся мгновенно упругие константы материала и параметры ядер интегральных операторов вязкоупру-гости. В случае композиционных вязко-упругих материалов необходимо дополнительно знать такие структурные параметры, как объемное содержание воло кон, механические и реологические константы связующего и волокон.
Последовательное соединение ключ-экстраполятор.
Откуда видно, что T ( s, p) совпадает с ядром интегрального оператора, определяющего дискретное преобразование Лапласа по преобразованию Лапласа непрерывного сигнала, что и следовало ожидать.
Исследование свойств динамической жесткости проводится на основе изучения поведения нулей и полюсов символа ядра интегрального оператора, непосредственным образом влияющих на динамическую жесткость среды, как в комплексной области, так и на вещественной оси, анализа особенностей их выхода на вещественную ось.
Во-вторых, в процессе регуляризации может использоваться либо точное, либо приближенное представление символа ядра интегрального оператора, что зависит от его свойств, которые определяются типом задачи.
Метод изучения GFPS, который будет приведен в этом разделе, основывается на свойстве положительности ядра интегрального оператора.
Предлагаемое в настоящей работе обобщение метода фиктивного поглощения основано на применении в его рамках численных процедур, что позволяет использовать точное представление символа ядра интегрального оператора и опустить необходимый при традиционной реализации метода этап аппроксимации. Тем самым, сохраняются все динамические особенности символа ядра, в том числе точки ветвления, что приводит к более полному учету динамических свойств задачи, и, следовательно, к повышению точности получаемого в результате решения.
Другой классический способ решения интегральных уравнений, применяемый в случае задач (1.2), (1.4), состоит в замене К ( х, ч) - ядра интегрального оператора на вырожденное.
Естественно ожидать, что оператор (9.32) допускает представление (9.33) в том случае, когда вырожденные ядра (9.35) в некотором смысле сходятся к функции K ( t, s), которая является ядром интегрального оператора.
Если ядро интегрального оператора в уравнении (12.5) имеет форму (2.27), то уравнение (12.5) преобразуется к виду (12.9), решение которого легко записать в квадратурах.
Такой вид наиболее удобен при теоретическом исследовании. Функция g ( t) является ядром интегрального оператора. Однако для определения результата действия оператора А на произвольную входную функцию и ( 0 соотношение ( 2.2.77 а) мало пригодно поскольку интеграл в правой части при сложном виде g ( t) и u ( t) вычислить не удается. Метод onpej деления v ( t) состоит в следующем.
Переходная функция h ( t линейного стационарного объекта. Величина заштрихованной площади равна значению инерционности процесса. Такой вид наиболее удобен при теоретическом исследовании. Функция g ( t) является ядром интегрального оператора. Однако для определения результата действия оператора А на произвольную входную функцию и ( t) соотношение ( 2.2.77 а) мало пригодно поскольку интеграл в правой части при сложном виде g ( t) H u ( t) вычислить не удается. Метод определения v ( t) состоит в следующем.
Если при tQ величина e ( t) Q, то нижний предел интегрирования в уравнении (1.15) будет равен нулю. Функция f ( t) называется ядром интегрального оператора.
Обобщение метода основано на применении в его рамках численных процедур. Такой подход позволяет использовать точное представление символа ядра интегрального оператора и опустить необходимый в традиционной схеме метода фиктивного поглощения [15, 39] этап аппроксимации. Тем самым учитываются все динамические особенности символа ядра, в том числе точки ветвления, что приводит к более полному учету динамических свойств задачи, и, следовательно, к повышению точности получаемого в результате решения. Последнее обстоятельство играет определяющую роль для эффективного исследования динамики контактных взаимодействий преднапряженных сред.
Массив SI ( среднеквадратичных погрешностей измерения) задается так же, как указано в предыдущем пункте. Далее следует сформировать массив XX значений переменной t, при которых задано ядро интегрального оператора, и указать их число КХ. Элементы массива XX должны быть упорядочены по возрастанию.
Изложенный в предыдущем разделе метод решения одномерных интегральных уравнений обобщается на двумерные, которые возникают при исследовании пространственных контактных задач для слоисто-неоднородного полупространства. Как уже отмечалось, характерной особенностью этих задач является наличие у символа ядра интегрального оператора ( наряду с вещественными нулями и полюсами) точек ветвления на вещественной оси.

Для приближенного решения уравнений ( 44), ( 46) можно использовать рассмотренный выше метод замены ядра интегрального уравнения на близкое вырожденное. Следует заметить, что поскольку в уравнениях ( 44), ( 46) ядро интегрального оператора зависит от разности аргументов, то можно использовать более простой способ построения вырожденного ядра на основе полных ортонормированных систем функции, чем в случае ядра общего вида. Рассмотрим какой-либо элементТ в матрице-функции, являющейся ядром интегрального оператора В.
Во-первых, процесс регуляризации освобождается от ограничений, обусловленных требованиями функциональной коммутативности [ 11 39 и др. ] к применяемым в построениях матрицам. Используемые в предлагаемом подходе матрицы-функции имеют простую структуру и должны лишь сохранять асимптотические свойства символа ядра интегрального оператора. Тем самым существенно расширяется класс пригодных для использования в методе фиктивного поглощения матриц - функций, что позволяет подбирать из них матрицы, позволяющие с большей точностью аппроксимировать символ ядра.
В ряде случаев, например для уравнения переноса, алгоритмы метода Монте-Карло можно получить на основе вероятностной интерпретации ядра интегрального оператора. С другой стороны, рассматривая моделирование траекторий частиц как алгоритм решения соответствующего интегрального уравнения, можно построить эффективные модификации метода Монте-Карло для задач теории переноса. Входящий в уравнение интеграл может быть интегралом Лебега - Стилтьеса, тем самым в рассмотрение включаются системы линейных алгебраических уравнений. Будет показано также, что путем конструирования специальных интегральных уравнений можно построить мон-те-карловские алгоритмы решения некоторых краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа. Рассмотрены алгоритмы метода Монте-Карло для оценки максимального собственного числа интегрального оператора.
Позднее это наблюдение приобрело весьма широкое значение и сыграло большую роль в развитии теории эллиптических линейных дифференциальных и псевдодифференциальных операторов. Пусть имеется два гильбертовых пространства HI, HI и нетеров, по современной терминологии фредгольмов, оператор A: HI - Я2, т.е. замкнутый ограниченный линейный оператор с конечномерным ядром A ( h) 0, h КегА ( не путать с понятием ядра интегрального оператора.
Разветвленный патрубок в сосуде ( а и сеточная область ( б. Такой метод соответствует решению некорректной задачи определения напряжений на общей границе двух подобластей из интегрального уравнения Фредгольма первого рода, что требует применения метода регуляризации. Неустойчивость нерегуляризованного решения возрастает с увеличением дискретизации области контакта, особенно для трехмерных задач, когда в зоне сопряжения относительно велико число неизвестных, определяемых при численном решении этого уравнения. Ядро интегрального оператора для него равно разности соответствующих ядер операторов сопрягаемых подобластей.
Для приближенного решения уравнений ( 44), ( 46) можно использовать рассмотренный выше метод замены ядра интегрального уравнения на близкое вырожденное. Следует заметить, что поскольку в уравнениях ( 44), ( 46) ядро интегрального оператора зависит от разности аргументов, то можно использовать более простой способ построения вырожденного ядра на основе полных ортонормированных систем функции, чем в случае ядра общего вида. Рассмотрим какой-либо элементТ в матрице-функции, являющейся ядром интегрального оператора В.
При использовании исходной информации в виде тензора напряжений, как и в случае известных перемещений, возможно определение искомого вектора напряжений не по всей совокупности компонент тензора напряжений, а по отдельным из них. Такая возможность может быть реализована при условии однозначной разрешимости соответствующего уравнения или системы уравнений. В практических расчетах установление единственности решения обычно основывается на анализе ядер интегральных операторов, являющихся функциями геометрической формы тела и взаимного расположения точек интегрирования и измерений. В случае существования не единственного решения, в предположении, что исходные данные удовлетворяют условиям разрешимости, задача сводится к нахождению нормального решения системы интегральных уравнений ( или уравнения), представляющего собой вектор-функцию, норма которого минимальна. Нормальное решение определяется однозначно.
При использовании исходной информации в виде тензора напряжений, как и в случае известных перемещений, возможно определение искомого вектора напряжений не по всей совокупности компонент тензора напряжений, а по отдельным из них. Такая возможность может быть реализована при условии однозначной разрешимости соответствующего уравнения или системы уравнений. В практических расчетах установление единственности решения обычно основывается на анализе ядер интегральных операторов, являющихся функциями геометрической формы тела и взаимного расположения точек интегрирования и измерений. В случае существования не единственного решения, в предположении, что исходные данные удовлетворяют условиям разрешимости, задача сводится к нахождению нормального решения системы интегральных уравнений ( или уравнения), представляющего собой вектор-функцию, норма которого минимальна.
Остальная часть этого параграфа посвящена различным применениям предыдущих теорем и следствий ( а также их обобщений на неограниченные операторы; см. ниже теорему 8 и следствие 9) к конкретным операторам. Наш план состоит в следующем. Сначала мы докажем эти неравенства для интегральных операторов ( см. ниже лемму 5), что довольно просто, ибо здесь все сводится к оценкам норм ядер интегральных операторов. Затем, используя полученные неравенства, мы применим теорему 1 к поучительному, хотя и несколько искусственному случаю: к к операторам умножения на функции, спектральные меры которых абсолютно непрерывны относительно двумерной меры Лебега. Теоремой 10 заканчивается элементарная, иллюстративная часть этого параграфа.
Эти функциональные уравнения после применения к ним одностороннего преобразования Лапласа приводят к интегральному уравнению с действительным симметричным ядром относительно неизвестной плотности интегрального представления. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро уравнения, определенное для обеих переменных на всей бесконечной прямой, является фредголь-мовым. Ядра интегральных операторов, входящих в решение задачи, не выражаются, правда, в элементарных функциях, но их всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью простыми кусочно-аналитическими функциями. В названной выше работе С. М. Белоносова [2] рассмотрен с доведением до численных расчетов пример клина, когда к одной из его граней на некотором расстоянии от вершины приложена сосредоточенная нагрузка. Аналогичная задача была также решена в статье Годфри ( Godfrey [1 ]) с помощью преобразования Меллина.
Из принципа сжатых отображений вытекает и единственность решения. Сходимость является особо быстрой, если связи напряжений и деформаций близки к соотношениям в виде суммы итегральных сверток. Но и для произвольной их связи в случае малых объемных сил и малых ( там, где они заданы) поверхностных сил их сходимость быстрая. При этом ядра интегральных операторов по времени могут быть неразностными и могут учитывать нелинейность наследственности.
Поэтому, коль скоро матрица элементов г - получена, дальнейший ход решения ничем не отличается от схемы восстановления регрессии. Программы, специально предназначенные для задач восстановления зависимостей по результатам косвенного эксперимента, рассчитаны на случай, когда как восстанавливаемая зависимость, так и наблюдаемая являются функциями одного неременного. При этом операции интегрирования для определения элементов гц включены в программное обеспечение. Исследователь должен задать для программы ядро интегрального оператора и результаты наблюдения - аргументы и значения наблюдаемой зависимости. Программа использует стандартные системы функций разложения - полиномы Чебышева и фундаментальные сплайны.
Процесс переноса обычно принято описывать интегро-дифференциальным уравнением Больцмана. Для целей стохастического моделирования более удобно пользоваться системой интегральных уравнений типа уравнения Пайерлса, описывающих процесс перехода от одного акта взаимодействия к другому. Соответствующая система уравнений ( П) вводится в первом разделе статьи. Через решение этой системы непосредственно выражаются такие величины, как плотность числа рассеяний, поглощений и делений, плотность потока частиц и т.п. Более сложные характеристики процесса, например, период реактора или диффузионная длина, непосредственно через решение системы ( П) не выражаются. Соответствующая мера в пространстве траекторий естественно задается ядрами интегральных операторов системы.
Исследование динамического контактного взаимодействия жестких штампов с преднапряженными телами и поиск закономерностей этого взаимодействия создают теоретическую основу для развития принципиально новых методов диагностики и контроля напряженного состояния упругих тел, находящихся в условиях больших силовых воздействий. Среда предполагалась сжимаемой, первоначально изотропной, имеющей упругий потенциал. Этот же метод был использован в работе В. В. Калинчука, И. В. Лысенко, И. Б. Поляковой [37] для исследования особенностей взаимодействия осциллирующего штампа с неоднородным тяжелым основанием и в работе Т. И. Белянковой, В. В. Калинчука, И. Б. Поляковой [25] при исследовании процессов возбуждения упругих волн в двухслойных преднапряженных средах. В работах В. А. Бабешко, В. В. Калинчука, О. А. Малаховой [7, 8] были рассмотрены динамические контактные задачи для упругого слоя из несжимаемого материала. Основной особенностью этого класса задач является наличие у символа ядра интегрального оператора двукратного нуля в начале координат. Для исследования этих задач в [7] получил дальнейшее развитие предложенный в [28] метод решения интегральных уравнений.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11