Большая техническая энциклопедия
2 4 7
D L N
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ДА ДВ ДЕ ДИ ДЛ ДО ДР ДУ ДЫ

Дескриптивная теория - множество

 
Дескриптивная теория множеств возникла в связи с решением некоторых специальных вопросов-вопроса о мощности В-множеств и вопроса об эффективном построении множеств, не являющихся б-множествами. Работы первого периода были тесно связаны с этими проблемами.
Основополагающие результаты по дескриптивной теории множеств и функций были получены в Советском Союзе во 2 - м и 3 - м десятилетиях 20 в.
Борелевские множества играют важную роль в дескриптивной теории множеств.
Наряду с теорией тригонометрических рядов и дескриптивной теорией множеств Андрей Николаевич занимается в это время и рядом общих вопросов классического анализа - дифференцированием и интегрированием, теорией меры, а также математической логикой.
МНОЖЕСТВО, суслинское множество, - см. Дескриптивная теория множеств.
Выяснено взаимоотношение с ZF многих важных проблем дескриптивной теории множеств. Методы аксиоматической теории множеств позволили обнаружить неизвестные ранее связи между проблемами наивной теории множеств. Доказано, например, что из существования неизмеримого по Лебегу множества действительных чисел типа Sj ( т.е. А2) вытекает существование несчетного П ] ( т.е. С А) множества без совершенного подмножества.
Выяснено взаимоотношение с ZF многих важных проблем дескриптивной теории множеств.
Напротив, для математика, работающего в дескриптивной теории множеств, предпочтительнее аксиома детерминированности, решающая многие проблемы из области проективных множеств, которые невозможно ре-щить на базе традиционных теоретико-множественных аксиом, даже с добавлением аксиомы выбора.
Наконец, особенно важный вопрос, где методами дескриптивной теории множеств пользуются постоянно, это вопрос об установлении измеримости какого-либо множества. Очень многие задачи метрической теории функций и смежных с ней областей нуждаются в таких доказательствах. В этих случаях бывает дана некоторая конструкция множества, исходя из которой необходимо решить вопрос о его изме римости. Ответ получается оценкой дескриптивной природы множества.
Александрова привлекли внимание А.Н.Колмогорова к проблемам так называемой дескриптивной теории множеств. И все в том же 1922 году он проводит большое исследование по теории операций над множествами.
Примерами этого могут служить доказательства непротиворечивости нек-рых положений дескриптивной теории множеств ( 1951) ( часть из к-рых была сформулирована ранее К. Результаты этого рода способствуют преодолению платонпстской точки зрения, согласно к-рой любая проблема теории множеств ( и математики вообще) независимо от какой бы то пи было аксио.
Наоборот, в бикомпактах, удовлетворяющих этому последнему условию, построение дескриптивной теории множеств, повидимому, обещает вполне серьезный успех.
Наконец, помимо связи с различными областями математики необходимо отметить глубокие связи дескриптивной теории множеств с математической логикой. Одной из важных задач последней является изучение природы трудностей, возникающих в задачах теории множеств, как, например, проблема континуума или проблема мощности СД-множеств. Но как раз дескриптивная теория множеств выделила несколько таких проблем, в которых возникли специфические трудности логической природы, с другой стороны, новые идеи математической логики обнаруживают явное родство с идеями дескриптивной теории множеств.
Значение этого факта таково, что он один был бы способен сделать дескриптивную теорию множеств необходимой составной частью анализа.
А-мпожествами в честь П. С. Александрова), к-рые могут не быть боре-левскими ( см. Дескриптивная теория множеств), А-О.

Вопрос о том, какова мощность множества связных компонент б-множеств был решен с привлечением методов дескриптивной теории множеств. Элементарными средствами А. М. Роднянский доказал, что мощность множества связных компонент F, либо не более, чем счетная, либо континуум.
Далее, Л - операция, возникшая при исследовании борелевских множеств, привела к созданию дескриптивной теории множеств. Из ряда задач комбинаторной математики и теории графов возникла комбинаторная теория множеств.
ЛУЗИНА ПРИНЦИПЫ ОТДЕЛИМОСТИ - две теоремы, доказанные Н. Н. Лузиным в 1930 ( см. [1]) в дескриптивной теории множеств. Так как существуют два непересекающихся аналитич. Ег и Е без общих точек отделимы при помощи аналитич.
К сожалению, рамки настоящей брошюры не позволяют остановиться на многих других интересных следствиях аксиомы детерминированности и, в частности, на результатах, относящихся к дескриптивной теории множеств и инфииитарной комбинаторике.
Вторая часть и вовсе увидела свет лишь в 1987 году в третьей книге Избранных трудов, где она помещена как Приложение 2, хотя в рукописном виде она и была доступна ряду исследователей в дескриптивной теории множеств.
Кантором, установившим понятие предельной точки множества н примыкающие к нему понятия замкнутого множества и др. Дальнейшее развитие теории точечных множеств привело к понятиям метрического пространства и топологического пространства, изучением к-рых занимается общая топология. Наиболее самостоятельное существование ведет дескриптивная теория множеств.
Повсеместно было признано большое принципиальное значение дескриптивной теории множеств, однако ведущая роль в этом направлении попрежнему принадлежит советской науке.
Доказано отсутствие в ZF эффективного вполне упорядочения континуума. Получены многочисленные результаты об отсутствии эффективно определенных объектов в дескриптивной теории множеств и теории ординалов.
Не следует, однако, ожидать, что в учебнике по общей топологии сколько-нибудь полно могут быть рассмотрены все ее вопросы, включая применения. Например, в книге не нашло отражения современное состояние дескриптивной теории множеств в общих пространствах, ибо этот материал требует отдельной книги. Не рассматривается метод обобщенных метрик, развитый в конце 50 - х и начале 60 - х гг. М. Я. Антоновским, В. Однако книга Энгелькинга обеспечивает очень хорошую основу для приложений современной общей топологии в различных частях математики. Она подходит вплотную к таким приложениям в разделах, посвященных пространствам отображений с различными топологиями, пространствам максимальных идеалов функциональных алгебр, топологическим группам и группам гомеоморфизмов, многозначным отображениям, равномерным пространствам.
В дескриптивной теории функций изучаются свойства тех или иных классов функций, полученных в результате предельных переходов. Это изучение ( на базе и в связи с дескриптивной теорией множеств) показало, что понятие функции крайне сложно. В этом направлении были открыты Бэра классы функций, к-рыо оказались самым тесным образом связаны с классификацией борелееских множеств.
В связи с этим круг лиц, работающих в области дескриптивной теории множеств, значительно вырос.
Теорема Новикова - Кондо об униформиза-ции П - отнопшш1Й из дескриптивной теории множеств утверждает существование определенного рода С.
Первая часть моей работы об операциях над множествами, выполненная в 1921 - 1922 гг., была опубликована в 1928 г. в томе 35 Математического сборника ( см. работу № 13 в первой книге моих избранных трудов Математика и механика. Вторая часть, оставаясь в рукописи, была доступна ряду исследователей по дескриптивной теории множеств, развивавших изложенную в этой второй части теорию Д - операций. Ниже публикуется с небольшими редакционными изменениями вторая часть - по рукописи, обнаруженной уже после того, как первая книга избранных трудов была сдана в печать.
По заслугам отражен выдающийся вклад в общую топологию польской топологической школы - К. Янишевского и более молодых топологов: Энгелькинга, Хабера, Пшимусинского, Поля и др. Особенно значителен этот вклад в теорию континуумов, теорию размерности, дескриптивную теорию множеств, теорию многозначных отображений. Следует еще раз подчеркнуть традицию тесных связей между топологами польской и московской школ, их огромное взаимное влияние.
Наконец, помимо связи с различными областями математики необходимо отметить глубокие связи дескриптивной теории множеств с математической логикой. Одной из важных задач последней является изучение природы трудностей, возникающих в задачах теории множеств, как, например, проблема континуума или проблема мощности СД-множеств. Но как раз дескриптивная теория множеств выделила несколько таких проблем, в которых возникли специфические трудности логической природы, с другой стороны, новые идеи математической логики обнаруживают явное родство с идеями дескриптивной теории множеств.

Наконец, помимо связи с различными областями математики необходимо отметить глубокие связи дескриптивной теории множеств с математической логикой. Одной из важных задач последней является изучение природы трудностей, возникающих в задачах теории множеств, как, например, проблема континуума или проблема мощности СД-множеств. Но как раз дескриптивная теория множеств выделила несколько таких проблем, в которых возникли специфические трудности логической природы, с другой стороны, новые идеи математической логики обнаруживают явное родство с идеями дескриптивной теории множеств.
Вопрос о том, какова мощность множества связных компонент б-множеств был решен с привлечением методов дескриптивной теории множеств. Элементарными средствами А. М. Роднянский доказал, что мощность множества связных компонент F, либо не более, чем счетная, либо континуум. В доказательстве этого факта существенную роль играют методы дескриптивной теории множеств, в частности теорема Н. Н. Лузина о стационарности последовательностей F. Дальнейшее исследование этого вопроса было проведено молодым казахским математиком А. Одним из наиболее ранних применений дескриптивной теории множеств в смежных областях был результат П. С. Урысона о том, что множество достижимых точек границы пространственной области всегда является А-множеством, но может не быть В-множеством.
В то же время под его руководством был организован семинар по дескриптивной теории множеств, интересы которого были направлены на указанные выше узловые проблемы этого направления.
Вопрос о том, какова мощность множества связных компонент б-множеств был решен с привлечением методов дескриптивной теории множеств. Элементарными средствами А. М. Роднянский доказал, что мощность множества связных компонент F, либо не более, чем счетная, либо континуум. В доказательстве этого факта существенную роль играют методы дескриптивной теории множеств, в частности теорема Н. Н. Лузина о стационарности последовательностей F. Дальнейшее исследование этого вопроса было проведено молодым казахским математиком А. Одним из наиболее ранних применений дескриптивной теории множеств в смежных областях был результат П. С. Урысона о том, что множество достижимых точек границы пространственной области всегда является А-множеством, но может не быть В-множеством.
Дескриптивная теория множеств возникла в связи с решением некоторых специальных вопросов-вопроса о мощности В-множеств и вопроса об эффективном построении множеств, не являющихся б-множествами. Работы первого периода были тесно связаны с этими проблемами. Сюда вошли вопросы, связанные с изучением строения А - и СД-множеств. На этой почве были созданы новые методы, которые дали решение значительного круга поставленных проблем. Далее, как это часто случается при развитии науки, созданные методы нашли применение в ряде смежных областей и дали возможность решить некоторые проблемы, возникшие в других областях науки - метрической теории функций и топологии. Кроме того, идеи, возникшие в дескриптивной теории множеств также оказали значительное влияние на некоторые смежные области, в особенности на топологию и математическую логику.
Однако Вейль не просто принял интуиционистскую концепцию: в известном смысле он возвысился над представлениями Брауэра - так же как и над воззрениями Гильберта. Во всяком случае, в этом смысле можно истолковать позицию, изложенную в следующих его словах: Как ни крути, а очевидность остается последним источником истины и познания. Но очевидность никогда не может привести к установлению окончательных правил и уберечь от заблуждения. Поэтому границы, до которых простирается брауэровская математика, остаются смутными; и нельзя быть также уверенным в том, что, строя математические рассуждения в соответствии с гильбертовской программой, разные авторы порой не перегнут палку в отношении очевидности ( с. Творчески работавший в дескриптивной теории множеств, он критически оглядывал теоретико-множественное мышление так сказать изнутри него самого. Это, видимо, и определило неприятие брауэровской концепции: в полном ее виде он считал последнюю неприемлемой ввиду ее разрушительного действия в математике, комментируют его позицию П.С. Новиков и Келдыш3; не был согласен он и с подходом Гильберта.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11