Большая техническая энциклопедия
2 4 7
D L N
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ЛА ЛЕ ЛИ ЛО ЛУ ЛЬ ЛЭ ЛЮ

Любая математическая теория

 
Любая математическая теория должна непременно сочетать в себе мощь метода, обусловливающую возможность применений к естественным наукам, и красоту, стройность, столь привлекательную для ума. Нам кажется, что наше определение математики удовлетворяет обоим этим требованиям. Вся наука зиждется на закономерностях, имеющихся в природе; для практики важна классификация этих закономерностей.
Так же как любая математическая теория, эта теория оперирует только с математическими моделями, а не с физическими источниками и физическими каналами.
Как известно, аксиоматическое построение любой математической теории начинается с перечисления неопределяемых, основ ных понятий ( объектов и отношений) и аксиом, которым должны удовлетворять основные понятия.
В начале этой главы была отмечена феноменологическая основа любой математической теории. Конечно, в основе создания теории почти всегда лежит какой-то эксперимент. Но этот эксперимент, тем более если он поисковый ( когда экспериментатор движется ощупью), может быть весьма несовершенен. Информация, которую с его помощью может получить исследователь, будет еще недостаточной для того, чтобы математическая модель, построенная на ее основе, была адекватна реальности. Предположим тем не менее, что этот изначальный опыт позволил сформировать математическую модель.
Остановимся на ограничениях применения этих теорий, исходя из того, что любая математическая теория выводится из некоторых определенных предположений ( аксиом), и, следовательно, любая методика, опирающаяся на эту теорию, применима только к тем задачам, которые отвечают этим предположениям.
Мнение о том, будто педагогов-математиков, то есть людей, наделенных даром доступно излагать любую математическую теорию, но не ведущих самостоятельных исследований, нельзя считать истинными математиками, весьма спорно. Сомнения вызывает не только опыт, но то обстоятельство, что, желая сделать математическую лекцию доступной слушателям ( а каждая аудитория обладает своим уровнем подготовки), педагог, пользующийся даже самыми новыми и самыми лучшими учебниками, вынужден одни доказательства заменить другими, дополнить и переработать их, а это, хотя и в небольшом объеме, требует уже творческой работы. Тот же, кто лишен способностей педагога-математика, обречен стать неводьником своих же собственных конспектов и рукописей и не сможет удовлетворить запросов слушателей.
Множества и функции на них - это два типа объектов, на которых в конечном счете строится любая математическая теория.
Главным орудием математической методологии Клейна было интуитивное постижение Verstehen взаимосвязей, основанное на наглядном усмотрении. Только исследователь, духовно родственный Риману, мог дать такой его портрет, который нарисовал Клейн; то, что сказано им о Римане, является ключом к пониманию его собственного подхода. Венец здания любой математической теории, - говорит Клейн, - состоит, конечно, в убедительном доказательстве всех ее утверждений. Разумеется, математика сама решает, в каких случаях она может обойтись без убедительных доказательств.
Соответственно строится и система алгоритмов. Каждый алгоритм сводит рассматриваемую задачу к одной или нескольким задачам менее высокого уровня, после чего уступает место своим младшим братьям. Если этого не понимать, то любая математическая теория будет казаться оторванной от жизни, поскольку сама по себе она не дает окончательного численного результата. Исключением является, пожалуй, только элементарная арифметика.
Теперь мы должны попытаться придать точный смысл тем несколько неопределенным выражениям, которые встречались в приведенном выше утверждении, исследовать законы управляющие подобной статистической устойчивостью, и показать, как эти законы могут применяться для извлечения выводов из эмпирического материала. Для решения этой задачи мы должны прежде всего постараться построить математическую теорию явлений, в которых обнаруживается статистическая устойчивость. Предварительно полезно будет привести в следующем параграфе некоторые общие замечания о природе и предмете любой математической теории, описывающей некоторую группу эмпирических явлений.
Вряд ли кто-нибудь из нас сочтет удовлетворительным такой способ передачи математической истины, при котором она предстает в виде сложной цепочки формальных умозаключений и вычислений, когда мы вынуждены, так сказать, вслепую, наощупь переходить от одного звена к другому. Мы хотели бы заранее видеть конечную цель и ведущий к ней путь, хотели бы понять внутреннее основание, определяющее ход мыслей, идею доказательства, более глубокие взаимосвязи. С современным математическим доказательством дело обстоит так же, как с современной машиной или экспериментальной физической схемой: простые основные принципы лежат глубоко и едва различимы под оболочкой технических деталей. Феликс Клейн, рассматривая в своих Лекциях о развитии математики в XDC столетии творчество Римана, говорит: Неопровержимые доказательства всех утверждений, несомненно, являются краеугольным камнем любой математической теории. Разумеется, математика сама судит, в каких случаях стоит поступиться строгостью доказательств. Извечный секрет необычайной продуктивности гения - в его умении находить новые постановки задач, интуитивно предугадывать теоремы, приводящие к новым значительным результатам и к установлению важных зависимостей. Не будь новых концепций, новых, целей, математика с присущей ей строгостью логических выводов вскоре исчерпала бы себя и пришла в упадок, ибо весь материал оказался бы израсходованным. В методике самого Клейна главным было именно это интуитивное постижение тех внутренних взаимосвязей и отношений, основания которых различны, но там, где требовалось напрячь всю мощь изощрений логики, он в известной мере был вынужден отступать.
Общие положения теории проиллюстрированы в книге многочисленными частными случаями и примерами. Вследствие общего значения теории и примеров при их изложении специальная радиофизическая терминология не употребляется. От читателя, интересующегося применением изложенного материала к проблеме передачи сообщений по радиоканалам, требуется умение наполнить абстрактные понятия радиофизическим содержанием. Правильная конкретизация понятий нужна для применения любой математической теории.
Так же как любая математическая теория, эта теория оперирует только с математическими моделями, а не с физическими источниками и физическими каналами. Однако теории строятся не так главным образом потому, что физическая реальность очень редко является достаточно простой для того, чтобы ее можно было точно представить с помощью модели, поддающейся математической обработке. Мы начнем с изучения простейших классов математических моделей источников и каналов и далее используем складывающиеся представления об этих моделях и относящиеся к ним результаты для изучения все более сложных классов моделей. Естественно, что выбор классов моделей для изучения будет навеян и обусловлен наиболее важными чертами реальных источников и каналов, но наше представление о том, какие из этих черт являются важными, будет видоизменяться на основе теоретических результатов. Наконец, после того как теория будет понята, будет установлено, что она является полезной при исследовании реальных систем связи по следующим двум причинам. И, во-вторых, что более важно, взаимосвязи, установленные теорией, указывают на типы обменных соотношений, возникающих при построении кодеров и декодеров для заданных систем. В то время как указа-ные выше замечания могут быть отнесены к почти любой математической теории, они особенно необходимы здесь потому, что должна быть разработана весьма развитая теория до того, как наиболее важные для построения систем связи рекомендации станут очевидными.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11