Большая техническая энциклопедия
2 4 7
D L N
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
НА НЕ НИ НО НУ НЬ

Непосредственное аналитическое продолжение

 
Непосредственное аналитическое продолжение, если оно возможно, иногда удобнее всего осуществить с помощью степенных рядов.
Отправляясь от непосредственного аналитического продолжения посредством элементов с примыкающими областями, можно ввести понятие цепи, аналитического продолжения ( не непосредственного) и, наконец, перейти к построению римановой поверхности, подобно тому как это делалось в пп. G p f ( z) является результатом продолжения.
Функция wz ( z) называется непосредственным аналитическим продолжением функции Wi ( z) в область В, а функция oi ( z) называется непосредственным аналитическим продолжением функции w2 ( z) в область А.
Пусть функция fc ( z) является непосредственным аналитическим продолжением ряда в правой части равенства ( IV. Если точка z zi ( fc) принадлежит области определения функции fc ( z) и является корнем производной функции fc ( z), то не существует однозначной аналитической функции, которая являлась бы обратной по отношению к функции fc ( z) в какой-либо области, содержащей отрезок [ 0, / c ( i ( / c)) ] действительной оси.
Пусть функция fc ( z) является непосредственным аналитическим продолжением ряда в правой части равенства ( IV. Если точка zi ( fc) принадлежит области определения функции fc ( z) и является корнем производной этой функции, то не существует однозначной аналитической функции, которая являлась бы непосредственным аналитическим продолжением вириального разложения предельного давления р по степеням предельной плотности g на связную область, содержащую отрезок [ 0, / c ( zi ( / c)) ] действительной оси.
Тогда функция fi ( z) называется непосредственным аналитическим продолжением функции fo ( z) из области D0 в область D.
Пусть функция fc ( z) является непосредственным аналитическим продолжением ряда в правой части (IV.24) вдоль положительного направления действительной оси.
В основе описанного выше процесса аналитического продолжения лежало понятие непосредственного аналитического продолжения двух элементов: [ Ог, fl ( z) и G2, / 2 ( 2) с налегающими областями. Существенным было то, что с помощью двух функций / j ( z) и / 2 ( z), аналитических в двух областях Gt и G2, получалась одна функция f ( z), аналитическая в большей области G Oi U G2 ( черт. Це-лесообразно обобщить определение элемента и непосредственного аналитического продолжения следующим образом.
Основываясь на теореме 1, мы несколько обобщим введенное выше понятие непосредственного аналитического продолжения.
Следовательно, не существует однозначной аналитической функции, которая являлась бы непосредственным аналитическим продолжением рассматриваемого вириального разложения на односвязную комплексную область, содержащую отрезок [ 0, / c ( i ( / c)) ] действительной оси.
Произведем присоединение к элементу Di, fj всех элемент-тов, являющихся его непосредственными аналитическими продолжениями.
Допустим, что существует однозначная аналитическая функция g ( g), являющаяся непосредственным аналитическим продолжением рассматриваемого вириального разложения на связную область Нс, содержащую отрезок [ 0, / c ( i ( / c)) ] действительной оси.
Функция wz ( z) называется непосредственным аналитическим продолжением функции Wi ( z) в область В, а функция oi ( z) называется непосредственным аналитическим продолжением функции w2 ( z) в область А.
Совокупность всех степенных рядов ( всех элементов / ( z)), которые получаются, из данного ряда ( элемента / i ( z)) при помощи непосредственных аналитических продолжений, образует представление функции, которая, по Вейерштрассу, называется полной аналитической.
Ог - f - G2 - ( - 3 существует аналитическая функция / ( гг), совпадающая с fj ( z) в Gj ( jl, 2), то элементы Gt, / ( z) и Ga, f2 ( z) называются по-прежнему непосредственными аналитическими продолжениями один другого.

Вообще, если функция / ( г) регулярна в области В, функция p ( z) регулярна в области Blt а области В и Вг имеют некоторую общую часть D, в которой / ( z) p ( z), то функцию y ( z) обычно называют непосредственным аналитическим продолжением функции / ( г) из области В в область В1у а функция / ( г) носит название непосредственного аналитического продолжения функции p ( z) из области Вг в область В.
Вообще, если функция / ( г) регулярна в области В, функция p ( z) регулярна в области Blt а области В и Вг имеют некоторую общую часть D, в которой / ( z) p ( z), то функцию y ( z) обычно называют непосредственным аналитическим продолжением функции / ( г) из области В в область В1у а функция / ( г) носит название непосредственного аналитического продолжения функции p ( z) из области Вг в область В.
Dm мы можем получить в области Dm в качестве аналитического продолжения элемента / о другой, отличный от функции fm голоморфный функциональный элемент. Таким образом, однозначный характер непосредственного аналитического продолжения в общем случае теряется.
DJ пересекаются по некоторой области GO и в области D D0 [ JDl существует голоморфная функция /, являющаяся продолжением функции / 0, заданной в области D0, и одновременно продолжением функции / 1; заданной в области Dv. Тогда функция / j называется непосредственным аналитическим продолжением функции / о на область D В силу теоремы единственности непосредственное аналитическое продолжение всегда однозначно.
О, Ь ] входит, по лемме 2, в область определения функции), которая принимает в точке z Ъ положительное значение. Пусть функция fc ( z) является непосредственным аналитическим продолжением вдоль положительного направления действительной оси ряда в правой части равенства ( IV. МС ( Ь) является односвязной областью, в которой функция Q fc ( z) является однозначной и аналитической и имеет обратную функцию г / ь ( 0), однозначную, аналитическую и однолистную в этой области.
DJ пересекаются по некоторой области GO и в области D D0 [ JDl существует голоморфная функция /, являющаяся продолжением функции / 0, заданной в области D0, и одновременно продолжением функции / 1; заданной в области Dv. Тогда функция / j называется непосредственным аналитическим продолжением функции / о на область D В силу теоремы единственности непосредственное аналитическое продолжение всегда однозначно.
Изложение основного материала достаточно близко к традиционному. Однако мы не проводим специального рассмотрения элементарных функций комплексной переменной в самом начале курса, как это делается в большинстве учебников, а вводим элементарные функции комплексной переменной как непосредственное аналитическое продолжение элементарных функций действительной переменной. Теоремы об аналитическом продолжении соотношений позволяют единообразно перенести в комплексную область известные свойства элементарных функций действительной переменной.
Пусть функция fc ( z) является непосредственным аналитическим продолжением ряда в правой части равенства ( IV. Если точка zi ( fc) принадлежит области определения функции fc ( z) и является корнем производной этой функции, то не существует однозначной аналитической функции, которая являлась бы непосредственным аналитическим продолжением вириального разложения предельного давления р по степеням предельной плотности g на связную область, содержащую отрезок [ 0, / c ( zi ( / c)) ] действительной оси.
В основе описанного выше процесса аналитического продолжения лежало понятие непосредственного аналитического продолжения двух элементов: [ Ог, fl ( z) и G2, / 2 ( 2) с налегающими областями. Существенным было то, что с помощью двух функций / j ( z) и / 2 ( z), аналитических в двух областях Gt и G2, получалась одна функция f ( z), аналитическая в большей области G Oi U G2 ( черт. Це-лесообразно обобщить определение элемента и непосредственного аналитического продолжения следующим образом.
Из определения величины zi ( fc) и условий ( 41) вытекает, что на отрезке [ О, Ь ] нет особых точек для аналитического продолжения ряда ( 23) вдоль положительного направления действительной оси. Далее, из условий ( 41) и определения величины zi ( fc) вытекает, что на отрезке [0, 6] нет корней производной функции fc ( z) и, следовательно, эта производная сохраняет свой знак на этом отрезке. Точка z О входит как в область сходимости ряда ( 23)), так и в область определения функции fc ( z), являющейся непосредственным аналитическим продолжением этого ряда вдоль положительного направления действительной оси.
Пусть G - выпуклая область и f ( z) - функция, аналитическая и однозначная в области G. Два элемента Gt, fi ( z) и G2, / 2 ( z) рассматриваются как тождественные тогда и только тогда, когда области Gl и G2 совпадают и fi ( z) - f2 ( z) во всех точках области. Два элемента Glt / ( z) и fG2, / 2 ( 2), удовлетворяющие условиям: 1) Gt и G2 имеют непустое пересечение, 2) в общей части областей Gl и G2 значения / t ( z) и / 2 ( z) совпадают, называются непосредственными аналитическими продолжениями один другого.
Во всех предыдущих рассмотрениях мы фактически основывались на формуле Коши, справедливой для однозначной аналитической функции. Следовательно, рассмотренные методы можно применять лишь тогда, когда аналитическое продолжение f ( z) функции f ( x) с действительной оси в область, ограниченную контуром интегрирования, является однозначной аналитической функцией. В тех же случаях, когда полная аналитическая функция F ( z) оказывается многозначной на полной комплексной плоскости z, надо так выбирать контур интегрирования, чтобы внутри его не содержалось точек разветвления функции F ( z), и рассматривать лишь однозначную ветвь f ( z) полной аналитической функции F ( z), являющуюся непосредственным аналитическим продолжением функции f ( x ] в комплексную область. Эти соображения позволяют распространить рассмотренные выше методы на ряд несобственных интегралов, часто встречающихся в приложениях. Рассмотрим несколько типичных случаев.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11