Большая техническая энциклопедия
0 1 3 4 9
D V
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Э Ю Я
ПА ПЕ ПИ ПЛ ПН ПО ПР ПС ПТ ПУ ПФ ПХ ПЫ ПЬ ПЯ

Псевдосфера

 
Псевдосфера построена Бельтрами в 1872 г. Параллельный перенос вектора по поверхности определен в 1917 г. Леви-Чивита, который с помощью параллельного обведения вектора по замкнутому контуру выразил кривизну поверхности. Теорема Леви-Чивита явилась обобщением теоремы Бонне ( 1867), в которой геодезический треугольник Гаусса заменен любой замкнутой кривой, а сумма его углов - интегралом от геодезической кривизны контура.
Псевдосфера неограничена и, следовательно, на ней нельзя реализовать хаотическое движение: свободная частица, двигаясь по геодезическим, может уйти на бесконечность. Для того чтобы реализовалась хаотическая динамика, система должна быть компактной. Это очевидно для евклидовой плоскости, которую множеством способов можно разбить на многоугольники или даже, для простоты, на прямоугольники. Если противоположные стороны прямоугольника считать эквивалентными, мы получим движение в компактной системе.
Псевдосферой называется поверхность, которая получается вращением трактрисы вокруг своей асимптоты.
Рассмотрим псевдосферу мнимого радиуса.
Прямоугольные координаты на эвклидовой плоскости. Сфера и псевдосфера - это поверхности, у которых кривизна во всех точках одинакова. В общем же случае геометрические свойства пространства могут меняться от точки к точке. Такое пространство называется римановым. Его свойства в каждой точке характеризуются не одной только кривизной как в указанных случаях, но целым набором величин. Для того чтобы это понять, рассмотрим простые примеры.
Итак, псевдосфера - это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на которой выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Стороны треугольника - это дуги псевдосферы, дающие кратчайшие расстояния между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости; эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и натертую краской или мелом нить в вершинах треугольника.
Рассмотрим на псевдосфере Бельтрами всевозможные круги одного и того же внутреннего радиуса г. Выяснить, какие из этих кругов конгруентны в R3, а какие нет.
Очевидно, что псевдосфера нулевого радиуса совпадает с изотропным ( нулевым) конусом.
Очевидно, что псевдосфера нулевого радиуса совпадает с изотропным конусом.
К зывается радиусом псевдосферы.
Распределение межуровневых расстояний в биллиарде Артина с периодическими граничными условиями, построенное в интервале импульсов 250 рп 300. Импульс рп связан с энергией соотношением Еп р - - 1 / 4. На вставке приведено то же распределение для интервала сравнительно малых значений импульса рп 100. Для дальнейшего обсуждения псевдосферу удобно преобразовать в полуплоскость Пуанкаре.
Эта поверхность называется псевдосферой.
Рассмотрим теперь стереографическую проекцию псевдосферы. Для простоты, мы рассматриваем только плоскость XOZ, так как все вычисления сохраняются при вращениях плоскости XOZ вокруг оси ОХ.

Вычислим риманову метрику на псевдосфере в координатах и1, и2 на модели Пуанкаре. Подставляя формулы для стереографической проекции в квадрат дифференциала длины дуги в Rf, получаем ( проверьте.
Поверхность такого типа называется псевдосферой.
Катушка Миндинга, волчок Миндинга, псевдосфера Бельтрами. Найти пример, отличный от псевдосферы.
Вычислим вид римановой метрики на псевдосфере в координатах и1, и2 на модели Пуанкаре. Используя формулы для стереографической проекции и подставляя их в выражение для квадрата дифференциала длины дуги в Rf, получаем ( проверьте.
Выразить сумму углов треугольника на псевдосфере ( составленного из отрезков прямых) через его площадь.
То же самое происходит и на псевдосфере: она не отображает всей плоскости Лобачевского, ее геометрия только локально совпадает с геометрией плоскости. Поэтому отображение неевклидовой плоскости на псевдосфере не доказывает со всей необходимой точностью, что планиметрия Лобачевского полностью на всем протяжении плоскости свободна от противоречий.
Чтобы применить подобную процедуру и к псевдосфере, нужно прежде всего разбить ее на многоугольники. В отличие от евклидовой метрики, здесь масштаб длины определяется радиусом кривизны. В результате число способов возможных разбиений неевклидовой поверхности много больше, чем на евклидовой.
Другим примером является ребро возврата на псевдосфере. С - О, представляет собой ребро возврата семейства А.
Итак, геометрия, индуцированная на псевдосфере мнимого радиуса в Rf совпадает с геометрией, возникающей в открытом евклидовом диске радиуса а, если в качестве точек взять обычные точки диска, а в качестве прямых взять дуги окружностей, пересекающих границу круга под прямым углом. В частности, прямыми являются все диаметры круга, поскольку их можно рассматривать как дуги окружностей бесконечно большого радиуса. Эта геометрия называется гиперболической или геометрией Лобачевского, а ее модель в круге радиуса а называется моделью Пуанкаре геометрии Лобачевского.
Вычислим риманову метрику, индуцированную на псевдосфере мнимого радиуса объемлющей индефинитной метрикой.
Она называется поверхностью Белътроми, или псевдосферой.
По понятным причинам соответствующая поверхность называется псевдосферой. В отличие от обычной сферы, псевдосферу нельзя вложить в трехмерное евклидово пространство.
В отличие от обычной сферы, образ псевдосферы при стереографической проекции покрывает не всю плоскость YOZ, так как окружность у2 z2 а2 не принадлежит образу проекции.
Поверхность, которую мы получили, называется псевдосферой. Псевдосфера имеет при г 0 особенности.

На рис. 35 приведена сравнительная таблица метрик сферы и псевдосферы.
Хаотическая динамика частицы в правильном многоугольнике с периодическими граничными условиями, расположенном на диске Пуанкаре. От исходной точки в центре частица движется налево с угловым отклонением от горизонтали, равным 10 - 3. а Частица движется по геодезической на диске без разбиения. б - д Частица движется внутри многоугольника, так что, достигая границы, она мгновенно появляется на противоположной. Рисунок демонстрирует, что в том случае, когда псевдосфера становится компактной, динамика превращается в хаотическую. Траектория на рис. 8.14 а приведена без учета разбиения на многоугольники. Она идет из центра к левой границе диска с очень малым отклонением по углу ( порядка 10 - 3) от горизонтали, что на рисунке незаметно. На рис. 8.14 б-д показана та же траектория, но теперь движение ограничено центральным многоугольником, у которого противоположные стороны считаются идентичными. Высокая концентрация траекторий в углах является лишь кажущейся. Возникает вопрос, почему в качестве основного элемента, ограничивающего движение на псевдосфере, был выбран восьмиугольник. Ответ прост: это самый простой способ разбиения.
Применения формулы Чебышева для сетной развертки поверхностей шара и псевдосферы.
Возвратимся к работе Белътрами, Он строил аналитически геометрию псевдосферы, но ведь это была в то же время, хотя бы и локально, гиперболическая геометрия, двумерная геометрия Лобачевского. Бельтрами, есте ственно, прежде всего выводит уравнение геодезической линии - прямой в гиперболической плоскости. Это уравнение мы уже привели выше; в декартовых координатах, как таковые определены на стр.
Это была частичная, локальная интерпретация, так как на псевдосфере реализуется геометрия не всей плоскости Лобачевского, а лишь ее куска, части.
Поверхность, образуемая вращением трактрисы вокруг ее оси, называется псевдосферой. Это поверхность постоянной отрицательной кривизны, на которой локально осуществляется геометрия Лобачевского.
Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера.
Какой области в круге с метрикой Лобачевского ( модели Пуанкаре) изометрична псевдосфера Бельтрами с разрезом по меридиану.
Другой пример неэвклидовой геометрии - геометрия на двухмерной поверхности, которая называется псевдосферой.
Геометрия ( метрика) пространства R3 индуцирует некоторую геометрию ( метрику) на псевдосфере мнимого радиуса.
Вернемся теперь к псевдоевклидовой геометрии и к геометрии, которую она индуцирует на псевдосфере мнимого радиуса.
V / C ( см. формулу (3.29)), а вторая представляет изометрическую метрику псевдосферы.
Отметим, что поверхность постоянной отрицательной кривизны, образованная вращением трактрисы вокруг асимптоты, представляет собой псевдосферу ( псевдо, от гр. Внутренняя геометрия псевдосферы локально совпадает с геометрией Лобачевского.
Часть этой поверхности изображена на рис. 5; там же показан отрезок одной из прямейших линий на псевдосфере. Поверхность является как бы вогнутой в отличие от выпуклой поверхности сферы. Математически Эти типы поверхностей различают, говоря в первом случае об отрицательной, а во втором - о положительной кривизне.

Но разность между отдельными расстояниями настолько сравнительно мала, что мы можем рассматривать все В как расположенные вокруг Л в первой координационной псевдосфере.
Но разность между отдельными расстояниями настолько сравнительно мала, что мы можем рассматривать все [ AB / I 2 i 1 В как расположенные вокруг Л в первой 3 2 svJs координационной псевдосфере.
Поверхность, которую мы получили, называется псевдосферой. Псевдосфера имеет при г 0 особенности.
Изображенная на рис. 3.29 поверхность не гладкая: она имеет ребро Это обстоятельство не случайно: можно показать, что в трехмерном пространстве не существует неограниченно продолжимой гладкой поверхности, имеющей постоянную отрицательную кривизну. Внутренняя геометрия псевдосферы отлична и от обычной планиметрии и от геометрии на сфере. Не имея возможности останавливаться здесь на всех этих вопросах ( имеющих, между прочим, глубокие связи с современными физическими представлениями, в частности с теорией относительности), мы отсылаем интересующегося ими.
Отметим, что поверхность постоянной отрицательной кривизны, образованная вращением трактрисы вокруг асимптоты, представляет собой псевдосферу ( псевдо, от гр. Внутренняя геометрия псевдосферы локально совпадает с геометрией Лобачевского.
Но какой-нибудь житель поверхности не знает никаких более прямых линий на своей поверхности, чем окружности больших кругов. Соответственное имеет место и для псевдосферы: самыми прямыми линиями и являются именно эти окружности. Аналогично и на всякой другой поверхности существуют самые прямые, или, как говорят, геодезические линии.
Точно так же можно определить стереографическую проекцию левой полости гиперболоида на ту же плоскость YOZ, используя в качестве центра проектирования южный полюс S. На рис. 28 показано сечение псевдосферы плоскостью, проходящей через ось ОХ. В отличие от обычной сферы 52, образ псевдосферы S2 при ее стереографической проекции покрывает только часть плоскости YOZ, так как окружность у2 z2 а2 не принадлежит образу проекции. Северный полюс N переходит ( как и в случае сферы) в бесконечно удаленную точку плоскости YOZ. Пусть теперь точка Р имеет декартовы координаты ( х, у, z) ( где х 0) и пусть ( и и2) - декартовы координаты точки f ( P) на плоскости YOZ, где отображение / - стереографическая проекция.
Замечательно, что свойством ( 12) обладают прямолинейные треугольники в геометрии Лобачевского. И вообще на любом куске псевдосферы, не содержащем точек параллели UV, осуществляются все без исключения свойства, которыми обладает некоторый КУСОК плоскости в геометрии Лобачевского. Бельтрами ( 1835 - 1900), устранило то недоверие к геометрии Лобачевского, с которым к ней прежде относились почти все математики, в том числе и очень видные.
Итак, псевдосфера - это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на которой выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Стороны треугольника - это дуги псевдосферы, дающие кратчайшие расстояния между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости; эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и натертую краской или мелом нить в вершинах треугольника.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11