Большая техническая энциклопедия
0 1 3 4 9
D V
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Э Ю Я
ПА ПЕ ПИ ПЛ ПН ПО ПР ПС ПТ ПУ ПФ ПХ ПЫ ПЬ ПЯ

Псевдодифференциальный оператор

 
Псевдодифференциальный оператор является локальным с точностью до интегральных операторов с бесконечно дифференцируемым ядром в следующем смысле ( ср.
Псевдодифференциальные операторы, см. настоящий сбор-1 ник, стр.
Определим теперь псевдодифференциальный оператор на многообразии И.
Алгебра псевдодифференциальных операторов была построена впервые в работе Дж.
Алгебра псевдодифференциальных операторов, см. настоящий сб.
Определение 1.0.3. Псевдодифференциальный оператор называется параметриксом для Р, если символ оператора QP - 1 равен нулю.
Вычисление индекса псевдодифференциального оператора с конечной группой сдвигов сводится с помощью формулы (20.3) к вычислению чисел Лефшеца для вспомогательного G-инвариантного псевдодифференциального оператора В.
О символе псевдодифференциального оператора с локально независимыми сдвигами / / Докл.
История классов псевдодифференциальных операторов Билса - Феффермана начинается с их статьи [1 ] о локальной разрешимости УЧП.
Построим теперь некоторые псевдодифференциальные операторы, полезные при доказательстве априорных оценок. Часть из них аналогична симметризаторам гл. IV, но сначала мы намерены расщепить (1.1) следующим образом.
Банаховы алгебры, псевдодифференциальные операторы и их приложения в К - теории / / УМН.
Банаховы алгебры, псевдодифференциальные операторы и их приложения к / ( - теории.
Банаховы алгебры, псевдодифференциальные операторы и их приложения к 7 -теории / / Успехи матем.
Преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы в суперанализе / / ДАН.
Обозначим через А псевдодифференциальный оператор из F в F с главной частью символа, равной произведению г на единичную матрицу.

Мы так определим псевдодифференциальный оператор, чтобы это представление сохранилось по крайней мере локально; ядро р будет удовлетворять условиям нижеследующего определения.
Пусть Q - псевдодифференциальный оператор порядка - т / 2 с символом, равным р ( х, ) - 1 / 2 при С2, где С2 - постоянная из определения 3.1 эллиптического оператора. Заметим, что множество С2 односвязно, если размерность я многообразия fl больше двух. Поэтому функция р ( х, Q-1 / 2 корректно определена на этом множестве при фиксированном я, если фиксировать ее значение в одной точке.
Идея нашего определения псевдодифференциальных операторов состоит в замене (1.1) более слабым условием, при котором полиномы по Я заменяются асимптотическими рядами по Я.
Если символ рассматриваемого псевдодифференциального оператора имеет в локальных координатах в окрестности границы асимптотич.
Докажем теперь псевдолокальность псевдодифференциального оператора Р в смысле волновых фронтов, что является более точным утверждением, чем теорема 2.5 из гл.
Это утверждение обобщает на псевдодифференциальные операторы теоремы, полученные для дифференциальных операторов ( [10], гл.
Теперь мы рассмотрим композицию псевдодифференциальных операторов.
Задачи, касающиеся систем псевдодифференциальных операторов, обсуждаются в гл. В § 1.1 мы доказываем, что искомые оценки эквивалентны некоторым неравенствам, содержащим только операторы первого порядка с линейными коэффициентами. Каждый такой оператор-составлен из членов первого порядка в разложении по формуле Тейлора символа псевдодифференциальной системы в некоторой характеристической точке.
Автор рассматривает инвариантный класс псевдодифференциальных операторов на многообразиях без края. В этом классе выделяются гипоэллиптические операторы и доказывается, что на компактном многообразии без края они имеют конечный гомотопически устойчивый индекс.
Поскольку эта книга посвящена псевдодифференциальным операторам, в мои намерения не входит подробное изложение этой глобальной теории интегральных операторов Фурье, тем более что локальной теории, содержащейся в § 2 - 4, будет достаточно дли целей этой книги. Материал § 1 относится к глобальной теории.
Оператор L - классифицируется как псевдодифференциальный оператор, который является нелокальным как по пространственной, так и по временной переменным. Это нежелательное свойство препятствует использовать этот оператор в качестве RBC условия. Используются различные аппроксимации радикала, позволяющие построить RBC условия.
Лемма 1.4.5. Пусть Р - псевдодифференциальный оператор в Rn порядка s, такой, что носитель Ри всегда содержится в некотором компактном множестве К и Ри - О, если v 6 C ( Rn) и v 0 в К.
Следствие 2.4. Если Р - псевдодифференциальный оператор порядка т, а Т - псевдодифференциальный оператор порядка - оо, то РТ и ТР являются псевдодифференциальными операторами порядка - оо.
Эта формула похожа на представление псевдодифференциального оператора посредством интеграла Фурье, лишь с заменой в показателе экспоненты функции x - g на некоторую функцию ф ( /, х, g), которую мы назовем фазовой функцией.
Можно было бы определить класс псевдодифференциальных операторов как минимальный класс линейных операторов, содержащий все дифференциальные операторы и операторы, обратные к эллиптическим дифференциальным операторам, так что для каждого эллиптического дифференциального оператора Р в этом классе существует такой оператор Q, что ф Тф фф, фе eCj5 ( co), 71 - компактный.

В - Аи, является псевдодифференциальным оператором порядка т - - тъ с символом.
О, Г ] является псевдодифференциальным оператором первого порядка.
Операторы в правой части являются псевдодифференциальными операторами первого порядка.
В эти алгебры попадают так называемые почти периодические псевдодифференциальные операторы нулевого порядка.
В этой главе излагаются основы теории псевдодифференциальных операторов.
Операторы А и AR принадлежат к классу псевдодифференциальных операторов ( ПДО), содержащему, кроме дифференциальных операторов, важнейшие интегральные и интегро-дифференциальные операторы математической физики. Исчисление ПДО быстро завоевывает популярность в последние годы. В § 33 оно намечено в адаптированной форме. Это исчисление приписывает каждому ПДО его символ, имеющий определенный порядок. В общем случае символ зависит от х и и состоит из однородных по слагаемых; главная часть символа имеет старший порядок однородности, который, по определению, и является порядком символа. Операторы А и AR имеют один и тот же символ ( его главная часть указана в формуле (36.9)) порядка - 1; оператор / Ь имеет ( при Im k 0) нулевой символ, последнему приписывается порядок - оо.
Такое преобразование недопустимо с точки зрения теории псевдодифференциальных операторов, поскольку переменные к и g R этой теории играют различную роль.
Теперь мы выясним, что происходит с псевдодифференциальным оператором при замене независимых переменных.
Установим связь между оператором Ъ и некоторым вспомогательным псевдодифференциальным оператором Ъ, не содержащим операторов сдвига, и попутно получим конструкцию символа. Связь операторов b и Ъ будет использована в § 20 при нахождении индекса.
Покажем теперь, что оператор Л2 является псевдодифференциальным оператором порядка - оо.
Алгебры, порожденные операторами взвешенного сдвига, и псевдодифференциальные операторы со сдвигом / / ДАН СССР.
В этом параграфе мы рассмотрим один специальный класс псевдодифференциальных операторов, который будет использоваться в дальнейшем.
Этот оператор является очень специальным частным случаем рассмотренных выше псевдодифференциальных операторов со сдвигом.
Мы воспользуемся интегральным представлением Фурье (1.3), чтобы определить псевдодифференциальные операторы; при этом функция р ( х, Б) будет принадлежать общему классу символов, который мы теперь определим.
К К ( t, a) - семейство псевдодифференциальных операторов в OPS1 ( ТР1), гладко зависящее от t и и.

В § 4 полученные результаты будут применены к изучению псевдодифференциальных операторов.
Следующие три утверждения составляют содержание нужной нам части исчисления псевдодифференциальных операторов. Первые два из них очевидны в случае символов, не зависящих от л; третье легко проверяется в случае дифференциальных операторов.
Задача настоящей статьи состоит в изучении более широкого класса псевдодифференциальных операторов, подобным же образом связанного с гипо-эллиптическими уравнениями. В несколько упрощенном виде эти операторы были изучены Хермандером в работе [22], но здесь мы приводим гораздо более полные результаты.
Небольшая работа Хермандера [2] посвящена главным образом изучению поведения псевдодифференциальных операторов при замене независимых переменных. В ней автор, в частности, дает весьма элегантное определение псевдодифференциального оператора, при котором вопрос об инвариантности даже не возникает, а затем доказывает эквивалентность этого определения и определения Кона - Ниренберга. Хермандер выводит формулы преобразования полного символа оператора при замене переменных. Инвариантное определение позволяет рассматривать псевдодифференциальные операторы на многообразиях без края.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11