Большая техническая энциклопедия
1 2 3 4 6
C J W Z
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ТА ТВ ТЕ ТИ ТО ТР ТУ ТЩ ТЯ

Треугольное разложение

 
Треугольное разложение некоторых хорошо обусловленных матриц может быть безнадежно испорчено ошибками округлений в двух-трех местах процесса.
Алгоритм решения линейной системы с блочно-ленточнон матрицей. Треугольное разложение уже выполнено.
Треугольному разложению с комплексными матрицами можно поставить в соответствие треугольное разложение с действительными матрицами L и D при условии, что диагональные элементы матрицы D отрицательны.
Возможность треугольного разложения ленточной матрицы опирается на следующую теорему.
Вероятность неудачи в треугольном разложении А - о невелика. Это подсказывает следующую простую стратегию. Если при разложении А - о наблюдается неприемлемый рост элементов, нужно изменить о на 0.01 % и начать заново.
РАР, не допускает треугольного разложения.
Доказательство получается применением блочно треугольного разложения.
Теорема, лежащая в основе треугольного разложения, использует ведущие главные подматрицы матрицы В.
Часто бывает полезна блочная форма треугольного разложения.
Наиболее эффективно используется память ЭВМ в треугольных разложениях. Совсем немного дополнительной памяти требуется во всех разложениях, связанных с преобразованиями отражения. Однако в разложениях, основанных на процессе ортогонализации и преобразованиях вращения, дополнительная память весьма значительна. Особенно большая дополнительная память требуется для запоминания сомножителей в случае приведения исходной матрицы к двухдиагональному виду с помощью преобразований вращения.
Предположим, что А - оМ допускает треугольное разложение А - aM L0A0L где А0 - диагональная, а М положительно определена.
Если Н - обратима, то блочно треугольное разложение ( гл.
Следующие примеры иллюстрируют свойства методов, использующих треугольные разложения и непосредственное обращение матриц.
Уилкинсон ( 1965) доказал, что треугольное разложение с частичным упорядочением является исключительно точным, если скалярные произведения в формулах (4.2.1) и (4.2.2) могут вычисляться с накоплением.

Как и в методе Гаусса, неустойчивость треугольного разложения в компактной схеме связана в основном только с возможным ростом элементов. В этом случае оценки (29.4) упрощаются.
Наиболее эффективно компактная схема используется для получения треугольного разложения положительно определенных матриц.
Этой процедуре должна предшествовать процедура chobanddet, реализующая треугольное разложение по схеме Холецкого для матрицы А. Процедура позволяет найти решение уравнения Ах Ь для г различных правых частей.
Треугольному разложению с комплексными матрицами можно поставить в соответствие треугольное разложение с действительными матрицами L и D при условии, что диагональные элементы матрицы D отрицательны.
В алгоритме 1.7, предназначенном для произвольных матриц, треугольное разложение реализовано с частичным выбором главного элемента. Такой алгоритм пригоден и для ленточных матриц, но объем вычислений можно существенно уменьшить, если учесть специфическую структуру этих матриц.
A ( fc) А 1 ] ], поэтому треугольное разложение очень устойчиво ( упр.
Теперь покажем, что такие же формы желательны и для треугольного разложения. L - нижние треугольные матрицы, полученные соответственно в методе Краута и в гауссовом исключении, при условии, что порядок и выбор главных элементов в обоих случаях одинаковы.
В действительности % есть i - й диагональный элемент в треугольном разложении Т снизу вверх.
Оно выполняется за такое же число арифметических операций, что и треугольное разложение по методу Гаусса. При этом само разложение более содержательно, чем треугольное разложение. Данное разложение позволяет более эффективно использовать память ЭВМ при решении систем линейных алгебраических уравнений. Однако по точности оно уступает треугольному разложению.
Вырожденные матрицы ранга п - 1 могут допускать или не допускать треугольное разложение.
Этот пример наводит на мысль, что после переупорядочения строк матрицы А треугольное разложение станет возможно. Действительно, если А не вырождена, такое переупорядочение можно найти, но оно разрушает симметрию ( упр.
Одним из наиболее часто используемых при решении систем линейных уравнений является метод прямого треугольного разложения, или метод Краута.
Пусть с помощью первой части алгоритма 5.1 матрица А уже представлена своим треугольным разложением.
Устойчивость вычислительной процедуры может быть достигнута посредством стратегии частичного упорядочивания [95] при треугольном разложении каждой из матриц As. Для приведения матрицы Ах к верхней треугольной форме Rt необходимо выполнить п - 1 шагов, причем на r - огл шаге текущую матрицу умножают слева сначала на г Г, ( матрица перестановки строк г и г), а затем на матрицу Nr, которая равна единичной матрице с ненулевыми поддиагональными элементами в г-ом столбце. Ненулевые поддиагональные элементы матрицы N-выбирают так, чтобы аннулировать поддиагональные элементы текущей преобразуемой матрицы, а строку г таким образом, чтобы все элементы матрицы Nr по модулю были ограничены единицей.
После того как матрица полностью сформирована, следует выполнить ряд предварительных преобразований и треугольное разложение. Эти функции осуществляет блок RSLEFP2 треугольного разложения.

Нужно осознать, что при наличии частичного выбора ведущего элемента любая матрица имеет треугольное разложение. На самом деле DECOMP работает даже быстрее, когда встречается нулевой ведущий элемент, поскольку это означает, что соответствующий столбец уже находится в треугольной форме. Единственная трудность с таким элементом состоит в том, что SOLVE будет делить на него в процессе обратной подстановки.
Холесского применяется к симметричной, положительно определенной матрице L, что приводит к треугольному разложению LLT. Следует отметить, что цель состоит также в таком упорядочении матрицы, чтобы ненулевые элементы РЛРТ группировались возле главной диагонали.
Модификация / - / обусловлена желанием работать с верхне - ( а не нижне -) треугольным разложением. В остальном она несущественна.
Построить две недиагональные ( 3 х 3) - матрицы ранга 2, одна из которых допускает треугольное разложение, а другая - нет.
Исходные элементы матрицы А уничтожаются, поскольку для подпрограммы SOLVE не выделен рабочий участок памяти для хранения множителей треугольного разложения.
Наилучшую точность в смысле малости / ( п) имеют разложение, полученное на основе процесса ортогонализации, и треугольное разложение для положительно определенной матрицы. В случае общей матрицы точность треугольного разложения зависит от роста элементов. Этот рост определяет значение параметров а, р Во всех разложениях, связанных с преобразованиями отражения и вращения, точность вполне приемлема.
Доказать, что эквивалентное возмущение при разложении матрицы на множители методом Жордана совпадает с эквивалентным возмущением, полученным при треугольном разложении по методу Гаусса и последующем разложении правой треугольной матрицы.
Доказать, что если В не вырождена, то найдется матрица перестановки Р ( а возможно, и много таких матриц), для которой РВ допускает треугольное разложение.
В тех случаях, когда матрица А плохо обусловлена, процедуры unsym ace solve и ex ace solve позволяют уточнить решение, используя в процессе итерацион-ного уточнения треугольное разложение исходной матрицы, найденное в про-цедурах unsymdet или compdet соответственно.
Это говорит о том, что в методе непосредственного обращения базисной матрицы плохая обусловленность одного из базисов ограничивает точность получения всех последующих базисов в отличие от метода треугольного разложения.
Блок RSLEFP3 прямой и обратной подстановок. Полученное треугольное разложение исходной матрицы позволяет решить СЛАУ с любой правой частью. На выходе из RSLEFP3 этот массив содержит решение СЛАУ. Прямая и обратная подстановки осуществляются с помощью процедуры HOLSBP, которая реализует алгоритм, приведенный в подразд.
Большинство подпрограмм этой главы решает именно эту задачу. Вычисления начинаются треугольным разложением ALU, где L и U соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы.
Рассмотреть две библиотечные подпрограммы FACTOR ( А) и SOLVE ( A, X, В), в которых для простоты различные аргументы, специфицирующие размеры А или системы, опущены. Подпрограмма FACTOR вычисляет треугольное разложение на месте матрицы А. Подпрограмма SOLVE решает систему АхЬ в предположении, что матрица А представлена своим треугольным разложением.
Значительные начальные затраты на треугольное разложение, именно / г3 / 3 ops, могут быть амортизированы по всем сделанным шагам. Пробел в этом утверждении тот, что в INVIT часто выполняют только один шаг. В подобных случаях а-это вычисленное собственное значение, верное почти во всех знаках.
Если матрица а содержит только целые числа, то результат - тоже целое число. Определитель вычисляется на основе треугольного разложения методом исключения Гаусса.

Эти разложения представляют собой бесконечномерный аналог алгебраической теоремы Шура о приведении конечной матрицы к треугольному виду с помощью унитарного преобразования. Для некоторых классов несамосопряженных операторов треугольное разложение может быть выведено непосредственно из теоремы Неймана ( см. п 65) о существовании нетривиального инвариантного подпространства у любого вполне непрерывного оператора. Этот вывод, фактически, использует лишь результаты гл.
После того как матрица полностью сформирована, следует выполнить ряд предварительных преобразований и треугольное разложение. Эти функции осуществляет блок RSLEFP2 треугольного разложения.
Наилучшую точность в смысле малости / ( п) имеют разложение, полученное на основе процесса ортогонализации, и треугольное разложение для положительно определенной матрицы. В случае общей матрицы точность треугольного разложения зависит от роста элементов. Этот рост определяет значение параметров а, р Во всех разложениях, связанных с преобразованиями отражения и вращения, точность вполне приемлема.
Эта остроумная техника была предложена Гивенсом в 1954 году и с тех пор широко используется. Однако ту же информацию можно получить посредством треугольного разложения и теоремы Сильвестра об инерции, метода, который и более устойчив, и имеет более широкую область применимости ( он описан в гл.
Существование разложения вида LDLT надполем вещественных чисел является полезной особенностью для рассматриваемых матриц. Однако следует отметить, что численная устойчивость треугольного разложения гарантируется только для случая положительно определенной матрицы.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11