Большая техническая энциклопедия
0 1 3 4 9
D V
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Э Ю Я
КА КВ КЕ КИ КЛ КО КР КУ

Конечномерной оператор

 
Конечномерные операторы являются исключительно, удобными, поскольку к уравнениям в конечномерных пространствах можно эффективно применять численные методы с использованием вычислительной техники. Таким образом, конечномерные операторы образуют важный подкласс в множестве компактных операторов.
Конечномерные операторы, описываемые знакорегулярными и осцил-пяционными матрицами, интегральные операторы со знакорегулярными и осцилляционными ядрами, абстрактные осцилляционные операторы относятся к тем весьма немногочисленным классам несимметрических операторов, о спектре которых известна в настоящее время существенная информация.
Конечномерные операторы являются исключительно удобными, поскольку к уравнениям в конечномерных пространствах можно эффективно применять численные методы с использованием вычислительной техники. Таким образом, конечномерные операторы образуют важный подкласс в множестве компактных операторов.
Упоминавшиеся выше конечномерные операторы будут, разумеется, компактными. Другой тривиальный пример компактного оператора представляет непрерывный линейный функционал в пространстве X, если его рассматривать как оператор из X в пространство скаляров.
Пусть последовательность конечномерных операторов Dn сходится по норме к конечномерному оператору Df причем Dn - Z) dirnDn - 0 при п - оо.
Полезно выписать общий вид конечномерного оператора.
Пусть А и В - конечномерные операторы, действующие в гильбертовом пространстве Я.
Для приближенных расчетов оператора L аппроксимируется конечномерным оператором L аналогично тому, как это было сделано при расчете реактора.
Иначе говоря, К является сужением на Н непрерывного конечномерного оператора из X в Н, обозначаемого также через К.
Поскольку компактный оператор С можно аппроксимировать по норме конечномерными операторами, достаточно установить ( 3) для конечномерных С.
Пусть последовательность конечномерных операторов Dn сходится по норме к конечномерному оператору Df причем Dn - Z) dirnDn - 0 при п - оо.
По лемме 2.2 каждая из этих конечных сумм является конечномерным оператором, а потому компактным.
Из полной непрерывности оператора А следует, что при удачном выборе конечномерного оператора Р оператор QA ( I - РА) будет иметь малую норму.
Второе утверждение легко проверить, аппроксимируя при t h операторы X1 конечномерными операторами.
Итак, доказаны теоремы о совпадении матричных и спектральных следов в случае конечномерных операторов и IB случае ядерных операторов. Возникает вопрос об аналоге этих теорем для неограниченных операторов. В этом случае спектральный и матричный следы оператора не существуют. Поэтому возникает понятие так называемых регуляризованных следов. Мы получим регуляризованные следы для широкого класса операторов.

Отметим, что поскольку множество значений оператора С одномерно, то С является конечномерным оператором, а поэтому и вполне непрерывным.
В ходе доказательства леммы 2 нами попутно установлено утверждение о том, что след конечномерного оператора не превосходит нормы этого оператора, умноженной на его размерность.
Таким образом, в таких пространствах скалярные операторы являются пределами в сильной операторной топологии конечномерных операторов. Так как многие интересные ненормируемые локально выпуклые пространства являются монтелевскими, это означает, что скалярные операторы в этих пространствах имеют структуру очень жесткого типа.
Таким образом, оператор Т, действующий из Е в F, является равномерным пределом конечномерных операторов и, следовательно, вполне непрерывен.
В случае отображения гильбертова пространства Н в себя вполне непрерывный оператор может быть аппроксимирован так называемыми конечномерными операторами. При этом линейный непрерывный оператор В: Н - Н называется конечномерным ( или оператором конечного ранга), если его область значений R ( В) принадлежит конечномерному подпространству и, следовательно, сама является конечномерным пространством: dim R ( В) - f - сю. Как отмечалось выше, конечномерный оператор В: Н - Н является вполне непрерывным.
Для того чтобы закончить доказательство леммы, заметим, что оператор Ft получается из Р - а прибавлением конечномерного оператора и поэтому тоже вполне непрерывен.
Если разложение ( 1) содержит лишь конечное число слагаемых, то А - оператор конечного ранга и tr А совпадает со следом конечномерного оператора, индуцируемого в образе оператора А.
Действительно, из рефлексивности Е следует, что 35 ( А) плотно в Е ( см. [1]), а из наличия в Е базиса вытекает, что оператор Т является пределом линейных конечномерных операторов.
Рассмотренное в § 14 представление произвольного непрерывного ядра К ( t, s) в виде суммы вырожденного ядра и ядра с малой нормой эквивалентна, таким образом, представлению вполне непрерывного интегрального оператора Фредгольма в виде суммы конечномерного оператора и оператора с малой нормой.
Из определения В ( г) ясно, что B ( z) - - 0 при г - - - оо, так что оператор / В ( г) обратим для некоторых г.) Кроме того, вычеты в полюсах суть конечномерные операторы.
Конечномерные операторы являются исключительно, удобными, поскольку к уравнениям в конечномерных пространствах можно эффективно применять численные методы с использованием вычислительной техники. Таким образом, конечномерные операторы образуют важный подкласс в множестве компактных операторов.
Конечномерные операторы являются исключительно удобными, поскольку к уравнениям в конечномерных пространствах можно эффективно применять численные методы с использованием вычислительной техники. Таким образом, конечномерные операторы образуют важный подкласс в множестве компактных операторов.
Пусть К е T-L, причем оператор I К обратим. Тогда для всякой последовательности конечномерных операторов Кп, сходящейся к К по норме Гильберта-Шмидта, последовательность det 2 ( 1 Кп) сходится к пределу, обозначаемому через det2 ( 1 К) и не зависящему от выбора приближающей последовательности.
Установим связь вполне непрерывных операторов с конечномерными операторами.
Линейный ограниченный оператор, отображающий бесконечномерное нормированное пространство X в конечномерное нормированное пространство Yn, называется конечномерным. Так как в конечномерном пространстве любое ограниченное множество предкомпактно, конечномерные операторы являются компактными.

Линейный ограниченный оператор, отображающий бесконечномерное нормированное пространство X в конечномерное нормированное пространство Yn, называется конечномерным. Так как в конечномерном пространстве любое ограниченное множество предкомпактно, конечномерные операторы являются компактными.
Иногда это наблюдение удается обобщить на бесконечномерные пространства. Это можно сделать при условии, что А достаточно хорошо приближается конечномерными операторами. В наших приложениях X, Y будут функциональными пространствами, потребуется достаточно хорошая аппроксимация конечными суммами рядов Фурье.
Так как I ( z) компактен ( предложение 3.6) и / ( z) - - 0 при Rez - - oo, из аналитической теоремы Фредгольма [ 292, с. С 4 и ее полюсы содержатся в некотором дискретном множестве DO, а вычеты суть конечномерные операторы.
Банахово пространство определяется теми же аксиомами, что и гильбертово, с той разницей, что норма в банаховом пространстве не обязана порождаться каким-либо скалярным произведением. В произвольном банаховом пространстве нельзя утверждать, что любой компактный оператор можно аппроксимировать по норме конечномерными операторами, так что представление типа (2.8) в общем случае не имеет места. Однако остается справедливым утверждение о том, что резольвента любого компактного оператора является мероморфной функцией от А.
Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство. Тогда линейный оператор А: Н - - Н является вполне непрерывным тогда и только тогда, когда существует последовательность ( Ап) 1 конечномерных операторов, определенных на Н, равномерно сходящаяся к А.
Доказательство во многом повторяет доказательство теоремы 3.2.4, и поэтому приведем его лишь схематически, останавливаясь более подробно там, где имеются новые утверждения. Для этого вначале доказывается вполне непрерывность операторов S ( t, s) при l s h путем представления S ( l s) qXatq ( Xai) и аппроксимации операторов сдвига Xsf ( вследствие их вполне непрерывности [86] при t s h) конечномерными операторами.
Как было указано в главе V, всякий линейный оператор из одного конечномерного пространства в другое - также конечномерное пространство - определяется некоторой прямоугольной матрицей. Изучение такого рода операторов представляет поэтому сравнительно легкую задачу, так как свойства конечных матриц хорошо известны из алгебры. Если же рассмотреть оператор в произвольном нормированном пространстве, то далеко не всегда удается установить у него наличие всех свойств, аналогичных свойствам конечномерных операторов. В этом отношении ближе всего подходят к последним так называемые компактные операторы. Основные свойства компактных операторов, сближающие их с конечномерными, устанавливаются лишь в главе XIII. Здесь же мы дадим лишь определение, укажем на простейшие следствия, вытекающие из него, и более подробно рассмотрим только компактные операторы в гильбертовом пространстве.
Из лемм 1 и 2 следует, что если для любого е 0 линейный оператор К. CljE и / С2 е, из которых KI, е - конечномерный, a Kz e имеет норму, не превосходящую г, то / С является вполне непрерывным оператором. Оказывается, верно и обратное предложение: любой вполне непрерывный оператор К допускает такое представление для произвольного е0, или, что то же, может быть приближен конечномерными операторами KI E в операторной норме.
Заметим, что само существование плотности нам уже известно. Для диагонального оператора К формула (6.2.6) проверяется непосредственно. Можно, конечно, действовать и по-другому: проверив формулу (6.2.6) для конечномерных операторов К, взять последовательность конечномерных операторов Кп ( не имеющих собственного числа - 1), сходящуюся к К по норме Гильберта-Шмидта. Тогда плотности d ( 7 ( / Kn) - 1) / d j сходятся п.в. к выражению в правой части (6.2.6), причем образуют равномерно интегрируемую последовательность, откуда вытекает доказываемое.
Заметим, что само существование плотности нам уже известно. Для диагонального оператора К формула (6.2.6) проверяется непосредственно. Можно, конечно, действовать и по-другому: проверив формулу (6.2.6) для конечномерных операторов К, взять последовательность конечномерных операторов Кп ( не имеющих собственного числа - 1), сходящуюся к К по норме Гильберта-Шмидта. Тогда плотности d ( 7 ( / Kn) - 1) / d j сходятся п.в. к выражению в правой части (6.2.6), причем образуют равномерно интегрируемую последовательность, откуда вытекает доказываемое.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11