Большая техническая энциклопедия
0 1 3 4 9
D V
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Э Ю Я
ОБ ОГ ОД ОЕ ОЖ ОЗ ОЙ ОК ОЛ ОМ ОН ОО ОП ОР ОС ОТ ОФ ОХ ОЦ ОЧ

Ограниченность - оператор

 
Ограниченность оператора и оценка его нормы легко получается с помощью неравенства Коши - Буняковского.
Из ограниченности оператора следует ( см. предложение 1.9 гл.
Об ограниченности оператора сингулярного интегрировашя в гельдеровых пространствах с весом.
Из ограниченности оператора С следует утверждение теоремы.
Об ограниченности оператора Немыцкого в пространствах Орлича, Уч.
Проверим ограниченность оператора А.
Об ограниченности сингулярногоч оператора в пространствах с весом.
Из интегральной ограниченности оператора A ( t) как и в лемме 3.2, следует, что взаимный наклон под пространств Э ( ( /) U ( t) h па интервале У ограниче.
Условия ограниченности операторов взвешенного сдвига в других пространствах связаны с более тонкими характеристиками отображения а и коэффициента а и существенно зависят от рассматриваемых пространств.
Из - ограниченности оператора А вытекает его Mo-ограниченность. Но в пространстве Еи оператор А сильно положителен относительно телесного и нормального конуса К П Еи, а для сильно положительных операторов равенство Хо - г ( А) установлено.
Таким образом, ограниченность оператора А установлена.
Из и - ограниченности оператора А вытекает существование таких положительных а и 0, что Az 0и и Az аи. Но тогда из теоремы 9.2 вытекает существование у сужения A i оператора А на подпространство II собственного вектора в К. С другой стороны, по второму утверждению теоремы 11.1 все лежащие в К собственные векторы оператора А должны быть коллинеарны и.
Исследуем вопрос об ограниченности оператора Л -, если он существует.
Из (33.14) и из ограниченности оператора С 1 следует, что II гт - гп II II С 1 II II tm - tn - Поэтому если tn - фундаментальная последовательность в Я, то и гп также будет фундаментальной последовательностью в Я. Итак, L является подпространством пространства Я.
Отметим, что при ограниченности оператора Л 1, когда оператор ( Л 1) тоже ограничен, если система (4.12) минимальна, то система (4.19) тоже минимальна, так как ( фь ф /) ( А-1 Ф1, ф /) ( Ф [, ( А -) ф) б -, откуда видно, что элементы ( А -) образуют систему, биортогональную к системе (4.19), и, следовательно, она минимальна.

В этом параграфе доказывается ограниченность оператора Sr в пространстве Ьи ( Г р) в случае, когда f состоит из конечного числа ограниченных и неограниченных сложных контуров.
Отсюда следует Г - ограниченность оператора V с нулевой Г - гра-ницей для Т - А. V является Г - малым на бесконечности.
Заметим, что условие ограниченности оператора в лемме 2.3 является существенным.
Из леммы 4 Л вытекает ограниченность оператора А В3 в 1р Остается воспользоваться равенством (4.1) - и теорема доказана.
Заметим сразу, что для ограниченности оператора ft, заданного формулой (1.1), не является необходимой раздельная ограниченность оператора сдвига Таи ( х) и ( а ( х)) и оператора умножения на функцию а. Например, оператор Ьи ( х) 2хи ( х2) ограничен в пространстве L2 [0, 1], но входящий в него оператор сдвига Ти ( х) и ( х2) не является ограниченным.
Из ( 1) вытекает ограниченность оператора U, так.
На первый взгляд, требование ограниченности операторов кажется жестким и сужающим область применимости данного представления.
Из данного неравенства в силу ограниченности оператора F следует.
Заметим, что из неравенства (7.1) и ограниченности оператора W следует, что скалярное произведение ( х, y) w определяет в равномерно W-положительном подпространстве обычное скалярное произведение, топологически эквивалентное исходному.
Ограниченность каждого из этих слагаемых прямо вытекает из ограниченности операторов (1.6) - (1.8); при этом для разных слагаемых числа сц ( Ц и 4 в (1.8) выбираются по-разному.
Покажем теперь, что условия (8.45) необходимы для ограниченности оператора Гильберта.
Sf - В ( ТВ-4 S0) в вытекает ограниченность оператора г в пространстве L f) - Теорема доказана.
Заметим, что в определении не выдвигается требование линейности или ограниченности оператора В.
Если Е и EJ - нормированные пространства, то условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Ег, можно сформулировать так: оператор А называется ограниченным, если он переводит всякий шар в ограниченное множество.
Во многих случаях решение краевой задачи для дифференциального уравнения может быть представлено в виде (1.1) и ограниченность оператора А в соответствующих функциональных пространствах означает гладкость решения краевой задачи и его непрерывную зависимость от правых частей.

Заметим сразу, что для ограниченности оператора ft, заданного формулой (1.1), не является необходимой раздельная ограниченность оператора сдвига Таи ( х) и ( а ( х)) и оператора умножения на функцию а. Например, оператор Ьи ( х) 2хи ( х2) ограничен в пространстве L2 [0, 1], но входящий в него оператор сдвига Ти ( х) и ( х2) не является ограниченным.
Подчеркнем, что, в отличие от определения линейного функционала, это определение не содержит требования об ограниченности оператора.
ГОЭ pe), Lp ( r, р)) 3 определенный равенством ( YyX bf)) Ограниченность оператора - У - проверяется непосредственно При этом используется то, что производная dg / dt непрерывна на Г и всюду отлична от нуля.
С является тензорным произведением операторов / и J ( построенным по / и О - В силу 4.1 и ограниченности операторов / и J оператор / С ограничен.
В случае k ( t, 1) 6 ( 1) ( 0 л1; см. § 5) уравнение (12.1) можно решать в пространстве гельдеровых функций Я ( 1, 0); к сожалению ядро s ( / f 1) ( 1 - О 1 ( 1 Р Н-1) не 1рииадлежит классу fl R 1) и, поэтому, уравнение (8.1) при с, 0 не может быть решено в прост-ранстве Я ( 1, 0); эту трудность можно преодолеть введением веса в точке х ( см. [ 366 1), но нужны хорошие теоремы Ьб ограниченности операторов вида (12.1) в таких пространствах.
Ограниченность оператора f была установлена при более слабых предположениях. Покажем, что при этих более слабых предположениях может быть доказана непрерывность оператора f в некотором ослабленном смысле.
Ограниченность оператора Ф в соответствующих пространствах гарантирует наличие такого свойства.
В этих пространствах рассмотрим операторы вида Ьи ( х) а ( х) и ( а ( х)) в предположение что а & С1 ( Х) и что отображение а: Х - - Х биективно и / раз непрерывно дифференцируемо. Для ограниченности оператора b в пространстве Wlp ( X) потребуем дополнительно, чтобы функция а ( х) af ( x) l - llv была ограниченной и продолжалась до непрерывной функции на X. Последнее ограничение существенно, если производная может обращаться в нуль.
Операторы А2 при Re z 0 уже будут неограниченными, если неограничен сам оператор А. Из ограниченности операторов A - z вытекает, что операторы Az замкнуты.
Заметим, что вместо условия сильной непрерывности оператора A ( t) можно рассмотреть менее ограничительное. Из (2.3) тогда следует сначала равномерная по t и s ограниченность оператора U ( t, s) ( 0J s J t T), а затем и его непрерывность по t в норме операторов. Если теперь предположить, что оператор слабо непрерывен, то подынтегральная функция в (2.3) будет также слабо непрерывной и, следовательно, оператор U ( t, s) будет по t слабо дифференцируем и будет удовлетворять уравнению (2.4) в слабом смысле.
Замкнутость оператора означает, что если zn D ( A), zn-z, a Azn - u, то z D ( A) и u Az. Ясно, что при D ( A) Z и линейности и ограниченности оператора А этот оператор замкнут.
В общем случае линейных топологических пространств, как мы уже говорили, из ограниченности оператора не следует его непрерывность.
Эту теорему можно легко вывести с помощью оценок из книги Н.И.Муохелишвили [ I ] ( стр. Теорема 6.1 легко выводится также из теоремы И. И. Привалова 41 ] ( стр. Sr в пространстве L ( f) Действительно, из ограниченности оператора Sr в Ь ( Г) следует.
Условие, что отображение а обратимо, не используется в первой части доказательства теоремы и, значит, если фгб. У), то оператор b ограничен и в случае необратимого а. Если 1 1, то утверждение теоремы полностью переносится на случай необратимого а. Если отображение а не является инъективным и N1, то условие фгб f Lq ( Y) является необходимым и достаточным для ограниченности оператора Ь, но равенство (1.8) может не выполняться.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11