Большая техническая энциклопедия
2 7
A V W
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ЯВ ЯД ЯИ ЯК ЯН ЯП ЯР

Явный метод

 
Явный метод - самый простой - является только условно устойчивым. Однако при использовании схем, явных по насыщенности, применяется именно этот метод.
Явный метод переменных направлений ( ЯПН) также основан на разбивке временного шага на две половины, но расходы потока рассчитываются неявно не по направлениям х и у, как в методе НПН, а по диагонали.
Поэтому явный метод Эйлера по условиям устойчивости непригоден для интегрирования устойчивых уравнений состояния вида (), собственные значения матриц которых могут иметь нулевые вещественные части. В этом случае на каждом отдельном шаге интегрирования может быть достигнута вполне приемлемая точность, в то время как аппроксимирующая эти значения функция не соответствует функции истинного решения исходного дифференциального уравнения.
Придумайте явный метод решения уравнений Максвелла в духе работы [ Morse and Nielson, 1971 ] для тех же полей, что используются в 1 / 2 модели. Ленгдона-Даусона в настоящем параграфе.
Для явных методов существует ограничение / гкр на величину шага h, вытекающее из условий устойчивости вычислительного процесса. При / гЛкр в численном решении возникают колебания значений U с увеличивающейся амплитудой, погрешность решения неограниченно растет. Величина h точно оценивается при интегрировании системы линейных дифференциальных уравнений.
Для явных методов интегрирования величина шага ограничивается их устойчивостью.
Например, явный метод Эйлера ( метод ломаных) получают при приближенном вычислении интеграла по способу правых прямоугольников.
Например, явный метод Эйлера ( метод ломаных) соответствует приближенному вычислению интеграла по способу левых прямоугольников.
Вычислительная схема явного метода реализуется следующим образом.
Для всех явных методов основным ограничением, приводящим к значительным затратам машинного времени, является ограничение на величину временного шага интегрирования, определяющего числовую устойчивость решения.
Другая группа явных методов, которую Гурли ( 1970) и Гурли и Макгир ( 1971) назвали методами, использующими принцип игры в классики, также имеет в своей основе идею, предложенную Саульевым.
Одной из особенностей явного метода численного интегрирования является простота определения плотности тепловых потоков как при переходе тепла через поверхность к твердому телу, так и при распространении тепла в твердом теле.
Метод характеристик является явным методом, сущность которого сводится к отысканию направлений, вдоль которых частное дифференциальное уравнение может быть упрощено до обыкновенного дифференциального уравнения. Этот метод весьма неудобен при расчетах сложных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.
Мэгнус в 11011 описывает явный метод, приспособленный для бесконечномерного случая. Когда известно, что что-то существует, найдутся и всевозможные методы для его отыскания; в этом и состоит практическая сила по внешности неколичественных доказательств существования. Мы изложим здесь один систематический метод для будущего употребления, не утверждая, что он всегда оказывается наилучшим.
Итак, метод коллокации и явный метод Рунге - Кутта в контексте этого параграфа эквивалентны; оба приводят к решению, которое является рациональной функцией от г. Если удастся показать, что это решение удовлетворяет условию аппроксимации (3.22) и если г совпадает с длиной шага ( обычно обозначаемого через / г), то это решение является аппроксимацией Паде.

При решении уравнения (2.16) используется явный метод сеток, когда решение в точках области определения уравнения подсчитывается шаг за шагом, исходя из граничных и начальных условий.
Геометрическая интер. Это и есть основная формула явного метода Рунге - Кутта второго порядка точности. В зависимости от выбора а получаются различные конкретные виды этой формулы.
Эта система решается с помощью явного метода Рунге - Кутта с начальными условиями p / t - ( 0) 0 для абсолютно черной границы.
Сделаем некоторые замечания относительно использования явных методов для численного решения жестких систем дифференциальных уравнений. В ряде ситуаций возникает необходимость - применения явных формул для решения жестких задач. Это требуется, например, при большой размерности дифференциальной задачи. Алгоритмы на основе неявных или полуявных формул, как правило, используют обращение матрицы Якоби, что в данном случае есть отдельная трудновыполнимая задача. Здесь предпочтительнее использовать алгоритмы на основе явных формул, если жесткость задачи позволяет за приемлемое время получить приближение к решению. Современные алгоритмы на основе явных формул в большинстве своем не приспособлены для решения жестких задач по следующей причине. Обычно алгоритм управления величиной шага строится на контроле точности численной схемы. Это логично, так как основным критерием является точность вычисления решения.
Видно, что в случае явных методов интегрирования искомое значение Uj на ( п 1) шаге выражено явно через уже известные значения Uj и fj, полученные на предыдущих шагах.
Вид матрицы коэффициентов - - уравнения. Однако, в отличие от классического явного метода, решения по ADE-методу безусловно устойчивы ( для линейных задач. По методам второго типа, называемых неявными методами переменных направлений ( ADI), решают трехдиагональные матричные уравнения. Такие методы относятся к группе включающей классические неявные методы и метод Кранка - Николсона.
Даже если система (5.10) интегрируется явным методом, например методом первого порядка точности с переменным шагом ( § 1 гл. Это связано с тем, что выбор шага при интегрировании системы (5.10) производится только по локальной погрешности составляющих вектора переменных состояния V. Погрешности составляющих векторов К и 7 2 Для таких шагов интегрирования могут быть существенно большими, и явный метод имеет тенденцию к неустойчивости. Кроме того, неявный метод при той же величине шага определяет решение точнее. Так как сопряженные системы линейны, то на каждом шаге интегрирования необходимо решать две системы линейных алгебраических уравнений.
Метод характеристик является в основном явным методом, сущность которого сводится к отысканию в плоскости ( х, t ] таких направлений вдоль которых частное дифференциальное уравнение может быть упрощено до дифференциального уравнения. Последнее можно решить численно методом конечных разностей.
Таким образом, при интегрировании явным методом Эйлера уравнений состояния (6.8) с большими по модулю собственными значениями матриц коэффициентов шаг интегрирования по условиям устойчивости должен быть выбран достаточно малым. Такая ситуация возникает, например, при обработке уравнений электрических цепей с малыми постоянными времени, что соответствует большим по модулю вещественным частям собственных значений матриц уравнений состояния.
Таким образом, при интегрировании явным методом Эйлера уравнений состояния () с большими по модулю собственными значениями матриц коэффициентов шаг интегрирования по условиям устойчивости должен быть выбран достаточно малым. Такая ситуация возникает, например, при обработке уравнений электрических цепей с малыми постоянными времени, что соответствует большим по модулю вещественным частям собственных значений матриц уравнений состояния. При этом попытка увеличить шаг более величины, определяемой его максимальной оценкой, приводит к резкому возрастанию погрешности ( взрыву погрешности) и нарушению адекватности вычисленных значений истинному решению дифференциального уравнения.
Выбор величины шага интегрирования в явном методе Эйлера необходимо делать исходя из сохранения устойчивости и точности вычислений.
Однако, как и ожидалось, явный метод только условно устойчив. Условие устойчивости легко вывести, используя понятие разностных уравнений положительного типа ( см. гл.
Так же как и в случае явного метода, численная устойчивость неявного итерационного метода зависит от способа упорядочения итерационных параметров.

При интегрировании системы (7.59) с помощью явных методов более высокой степени положение по существу не меняется.
Из (1.12) и (1.13) следует, что явный метод Эйлера имеет первый порядок точности.
График колебаний значе - разделе, ний дебита и насыщенности. Ранее было отмечено, что при использовании явного метода подсчета дебита в модели могут возникнуть неувязки, а именно - колебания насыщенности и неравномерность дебита.
Как известно, один из основных недостатков явного метода решения дифференциальных уравнений - значительная погрешность, имеющая место из-за ошибок округления даже при отсутствии заметной ошибки аппроксимации. Рассмотренный метод позволяет сократить эту погрешность, уменьшить число операций ( примерно вдвое) и облегчить труд расчетчика.
Например, положив в (7.7) С1 и используя явный метод Эйлера, получаем разностное уравнение Un i Ura / iF ( Un), соответствующее методу простой итерации.
Можно построить согласно ( 6) неявные аналоги явных методов Руяге - Кутта любой степени, обладающие Л - устойчивостью и жесткой устойчивостью.
Теория неявных итерационных методов легко сводится к теории явного метода.
В [94] построен алгоритм численного конструирования областей устойчивости явных методов заданных конфигурации и размера.
Как видно из табл. 9.4, при применении явного метода Эйлера увеличение шага интегрирования h привело к резкому ( в миллиард раз.
Метод Зейделя и метод верхней релаксации сходятся быстрее явного метода простой итерации.
Из табл. 9.1 следует, что вычислительные процессы всех явных методов интегрирования при h / imax оказались неустойчивыми, а полученные при этом результаты решения задачи непригодными для использования. Метод Рунге-Кутта дает гораздо меньшую погрешность, что объясняется более высоким порядком его точности. При этом погрешность накопления постепенно и плавно нарастает, поэтому при отсутствии контроля за ее величиной может сложиться обманчивое впечатление о нормальном протекании вычислительного процесса, что обязательно следует учитывать при выборе параметров алгоритма численного метода интегрирования.
Области абсолютной устойчивости явного ( а и неявного ( б методов Эйлера. Ограничение шага интегрирования, обусловленное устойчивостью, характерно для любых явных методов интегрирования ( Рунге - Кутта, Адамса и др.) и является их серьезным недостатком.
Область абсолютной.
Ограничение шага интегрирования, обусловленное устойчивостью, характерно для любых явных методов интегрирования ( Рунге-Кутта, Адамса и др.) и является их серьезным недостатком. Практически явные методы интегрирования оказываются неприемлемыми для плохо обусловленных систем обыкновенных дифференциальных уравнений из-за большого числа шагов интегрирования.
Основная трудность при численном интегрировании жестких систем с помощью явных методов типа Адамса и Рунге - Кутта состоит в невозможности увеличить шаг интегрирования.
Расчеты переходных процессов при этом должны проводиться с помощью явных методов интегрирования высокого порядка, которые являются более устойчивыми и не допускают значительного накапливания погрешности в процессе вычислений. Рекомендуется применять метод Рунге-Кутта IV порядка и метод прогноза и коррекции II порядка с шагом, равным 0 05 с.
Структурная схема функционирования программно-аппаратного комплекса. Проведен численный анализ зависимости ускорения, достигаемого при распараллеливании явного метода решения системы нелинейных динамических систем от параметров ВС - числа процессоров и скорости работы каналов обмена данными.
Проведен численный анализ зависимости ускорения, достигаемого при распараллеливании явного метода решения системы нелинейных динамических систем от параметров ВС - числа процессоров и скорости работы каналов обмена данными. Так как веса всех вершин и дуг графа этого алгоритма суть величины одного порядка по N ( где N есть размерность задачи), то увеличение N, в отличие от рассмотренных выше алгоритмов линейной алгебры, на ускорение никак не влияет.
При этом трудоемкость метода оказывается такой же, как у явного метода Адамса, а главный член погрешности такой же, как у неявного, Практически такое видоизменение неявного метода может приводить к возрастанию ( по сравнению с неявным методом) величины шага, при которой сказывается влияние паразитических корней. Исследователи, составляющие стандартные программы метода Адамса, находят компромиссное решение между возможностью дополнительного дробления шага и увеличением числа итераций на шаге волевым образом с учетом статистических свойств решаемых задач.
При v 1 последнее уравнение совпадает с ранее рассмотренным уравнением явного метода Эйлера.
Используя это определение, полученные выше результаты можно сформулировать так: явный метод Эйлера не является Л - устой-чивым, а неявный метод Эйлера является Л - устойчивым.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11