Большая техническая энциклопедия
2 3 6
A N P Q R S U
А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
КА КВ КЕ КИ КЛ КН КО КР КС КУ КЫ КЭ КЮ

Канонический базис

 
Канонический базис, в котором матрица оператора А записывалась бы в жордановой форме ( 8), вообще говоря, не существует, хотя бы потому, что характеристический многочлен оператора А может иметь невещественные корни.
Канонический базис в этом случае называется ортогональным.
Канонический базис g определен лишь с точностью до множителя, зависящего от j и равного по модулю единице. Поэтому соотношения ( 54 1) недостаточно для однозначного определения коэффициентов Клебша - Гордана.
Сколько канонических базисов может иметь билинейная форма.
Ни канонический базис, ни канонический вид квадратичной формы не определены однозначно. Например, любая перестановка векторов канонического базиса приводит вновь к каноническому базису.
Пусть канонический базис найден. Тогда каждое из подпространств L -, входящих в разложение ( 8), само представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств, в каждом из которых преобразование задается одной жор-даповой клеткой.
Ни канонический базис, ни канонический вид квадратичной формы не определены однозначно. Например, любая перестановка векторов канонического базиса приводит вновь к каноническому базису.
Если канонический базис системы ортогонален, то для вариаций операторов эквивалентной системы легко вывести относительно жесткие оценки.
Построение канонического базиса, приведенное в 7.31, имеет тот недостаток, что оно не дает возможности непосредственно, по элементам матрицы Л ( /) симметричной билинейной формы А ( х у) в заданном базисе / Л Л - / л) указать коэффициенты X - и координаты векторов канонического базиса. Метод Якоби, излагаемый далее, позволяет находить эти коэффициенты и координаты векторов искомого канонического базиса.
Построение канонического базиса, приведенное в 7.31, имеет тот недостаток, что оно не дает возможности непосредственно, по элементам матрицы A ( f) симметричной билинейной формы А ( х у) в заданном базисе / fi fz, - / указать коэффициенты X - и координаты векторов канонического базиса. Метод Якоби, излагаемый далее, позволяет находить эти коэффициенты и координаты векторов искомого канонического базиса.
Его называют каноническим базисом.
Так как каноническим базисом формы ( х, у) является любой ортонормальный базис пространства и канонические коэффициенты формы ( х, у) в любом таком базисе все равны 1, то в силу 7.61 матрица oyfc формы А ( х, у) в любом ортонормальном базисе совпадает с матрицей oj / оператора А, а матрица bfk формы В ( х, у) транспонирована по отношению к матрице bf оператора В.
Так как каноническим базисом формы ( х, у) является любой ортонормальный базис пространства и канонические коэффициенты формы ( х, у) в любом таком базисе все равны 1, то в силу 7.61 матрица c - fc формы А ( я, у) в любом ортонормальном базисе совпадает с матрицей aj / оператора А, а матрица bjk формы В ( х, у) транспонирована по отношению к матрице fe) оператора В.
Их объединение дает канонический базис.
Второй способ построения канонического базиса заключается в следующем.

В случае ортогональности канонического базиса системы коэффициенты соотношения ( 76) представляют собой элементы столбцов матрицы С.
Этот базис называют каноническим базисом или канонической цепочкой.
Отметим также, что канонические базисы определяются и для сим-метризуемых алгебр Каца-Муди.
Очевидно, что если канонические базисы разных передаточных матриц совпадают, то при соответствующих заменах переменных матрицы одновременно приводятся к каноническим формам. Как и ранее, многосвязная система оказывается эквивалентной простой системе с изолированными каналами.
Вопрос сводится к единственности канонического базиса у симметричного оператора с попарно различными собственными значениями.
Вопрос сводится к единственности канонического базиса у симметричного оператора с попарно различными собственными значениями.
Матрица билинейной формы в каноническом базисе является диагональной с элементами Л на главной диагонали.
Для каждой квадратичной функции существует канонический базис.
Для любой квадратичной формы существует канонический базис.
Ясно, что в случае канонических базисов, когда матрицы имеют большое число нулей и единиц, реализация упрощается.
В чем состоит метод нахождения канонического базиса и канонического вида симметричной билинейной формы.
Для любой симметричной билинейной формы существует канонический базис.
Нужно сообразить, какая именно нумерация канонического базиса приводит к этой теореме. Есть два основных способа параметризовать канонический базис. Один по Люстигу, другой, логично было бы сказать, по Кашиваре, но у меня такое впечатление, что Аркадий Беренштейн и я придумали его немного раньше Кашивары, в 1992 г. Поэтому второй способ мы будем называть струнными параметризациями.
Докажите, что если билинейная форма имеет канонический базис, то она является симметричной. Верно ли обратное утверждение.
В каждом из L преобразование А имеет канонический базис.

Да -, а /) образуют канонический базис в йг.
Положительный индекс инерции не зависит от выбора канонического базиса.
Ясно, что базисные векторы е т образуют канонический базис относительно осей О ст..
Фактически мы не только доказали теорему о существовании канонического базиса для квадратичной функции, но и указали алгоритм, позволяющий произвольный базис пространства V перевести в канонический. Алгоритм этот предложен в XVIII веке великим французским математиком Лаг-ранжем. Поэтому описанный выше метод приведения квадратичной функции к каноническому виду называется методом Лагран-жа. Метод Лагранжа фактически сводится к методу выделения полных квадратов, описанному в разделе I доказательства. Если же процесс выделения полных квадратов останавливается на некотором этапе ( может быть, первом) ввиду отсутствия ненулевых коэффициентов на диагонали, то применяется вспомогательное преобразование вида ( 28), после которого вновь можно применить метод выделения полных квадратов.
Непосредственное доказательство равенства ( 10) в случае произвольных канонических базисов ( 7) и ( 9) представляет значительные вычислительные трудности, поэтому будут рассмотрены три частных типа преобразований канонического базиса в канонический базис, причем для каждого отдельного типа преобразования справедливость формулы ( 10) устанавливается довольно легко. В заключение будет показано, что переход от произвольного канонического базиса ( 7) к любому другому каноническому базису ( 9) получается путем последовательного применения рассмотренных частных преобразований. Этим инвариантность вычета 8 будет полностью доказана.
Вид, который принимает квадратичная форма в своем каноническом базисе, называется ее каноническим видом.
Посмотрим теперь, какова матрица оператора А в каноническом базисе.
Для всякой симметричной билинейной формы f на V существует канонический базис.
Если в пространстве L для некоторого преобразования В существует канонический базис, то преобразование В нильпотентно и его высота равна числу векторов в самой длинной серии этого базиса.
Последовательность действий, которые приводят к определению координат векторов искомого канонического базиса и чисел К.
Не требуется, чтобы канонический вид квадратичной формы или ее канонический базис определялись однозначно. Скажем, при произвольной перестановке векторов канонического базиса вновь получается канонический базис.
Пусть w ( L) и F, G обозначают канонический базис я соответствующие матрицы в точке ( А, А) соответственно. Пусть г ( г, Z, А, А) обозначает единственное решение системы (3.3.23), полученное из w ( L), F и G процедурой, описанной выше.
Ортогональные преобразования самосовмещения коммутируют, и, следовательно, обладают общим каноническим базисом.
Формулы ( 24) позволяют найти коэффициенты билинейной формы в каноническом базисе, не вычисляя самого базиса.
Обозначим через / - число серий длины / в некотором каноническом базисе преобразования В.

В n - мерном евклидовом пространстве всякая симметричная билинейная форма имеет канонический базис из взаимно ортогональных векторов.
Мы видели в 7.33 а, что в аффинном пространстве ни канонический базис, ни канонический вид квадратичной формы не определены однозначно; вообще говоря, можно было включить в канонический базис формы любой наперед заданный вектор. В евклидовом пространстве и при условии, что рассматриваются только ортогональные и нормированные базисы, положение иное. Дело в том, что вместе с матрицей квадратичной формы, как мы видели, преобразуется и матрица соответствующего симметричного линейного оператора; если найден канонический базис квадратичной формы, то одновременно найден базис из собственных векторов симметричного оператора. При этом коэффициенты квадратичной формы в каноническом базисе ( канонические коэффициенты) совпадают с соответствующими собственными значениями оператора. Но собственные значения оператора А суть корни уравнения let ( А - ХЕ) - 0, которое не зависит от выбора базиса и инвариантно связано с оператором А. Следовательно, совокупность канонических коэффициентов формы ( Ал, х) определена однозначно.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11