Большая техническая энциклопедия
0 1 3 4 9
D V
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Э Ю Я
У- УА УБ УВ УГ УД УЖ УЗ УИ УК УЛ УМ УН УП УР УС УТ УФ УЧ

Убывание - решение

 
Убывания решения одной краевой задачи для уравнения Соболева.
Было бы интересно провести оценку скорости убывания решений при заданных А0 и цо, доведя эту оценку до точной. Кроме того, отметим, что коэффициенты, фигурирующие в теоремах предыдущего параграфа, по-видимому, не являются точными и могут быть улучшены.
Б-15, 18, 19), степень убывания решений может быть совсем слабой, по крайней мере на одном из концов. Также из полученных ранее резу ль, татов следует, что условие ( 6) достаточно задать в начальный ( положительный) момент времени tQ9 и тогда оно будет автоматически выполняться при всех ( положительных) временах.
Одна из теорем О п я л я [8] устанавливает убывание решений при постоянном возмущении.
Другим следствием теоремы о трех шарах является теорема о возможной скорости убывания непулевого решения ( 2) в неограниченной области на бесконечности.
Если k не является положительным числом, то под условием излучения понимается условие убывания решения на бесконечности.
Значит, нужно измерить такие функционалы, знание которых позволило бы исследовать скорость убывания решения системы ( 2) при больших г. Как кратко описано в первой части настоящей книги, система ( 2) со случайными коэффициентами приводится к произведению случайных матриц, которое исследуется переходом к полярной системе координат.
Как и в случае краевых задач для уравнения Соболева, из этих теорем вытекает, что скорость убывания решений задач (3.80) и (3.81) зависит от п и числа условий ортогональности начальных данных некоторым полиномам.
Громовой [22.1] для уравнения ( о) нейтрального тина общего вида в асимптотически критическом случае изучается зависимость скорости убывания решений нри t - oo от запаса гладкости решений и от скорости приближения корней характеристического квазиполинома к мнимой оси. Оказывается, что, несмотря на наличие условия все Не kj 0, в асимптотически критическом случае возможна неустойчивость решений.
Определить его область задания, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности; изучить поле направлений, определяемое нм ( найти изоклины, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
Определить его область задания, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности; изучить поле направлений, определяемое им ( найти изоклины, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
Таким образом, решение двумерных задач теории упругости для ортотропных и трансверсально изотропных тел ( однородных или кусочно-однородных) в точности следует описанным выше процедурам, включая схемы численного выполнения квадратур и даже введение в соотношения непрямого метода двумерного вектора смещений тела как жесткого целого для того, чтобы можно было удовлетворить условиям убывания решения на бесконечности. Имеются только два различия: ( 1) использованные фундаментальные решения являются решениями уравнений (4.74) - (4.76), а не (4.7), (4.9); ( 2) в любой выделенной зоне оси локальных координат % 1, Х2 удобнее всего направлять вдоль осей упругой симметрии этой зоны. Все граничные условия сначала следует преобразовывать к этим осям.
В задачах 48 - 61 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины г / 0, у, у оо, определить направление поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
В задачах 117 - 125 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины у 0, у 1, у оо, определить направление поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
В задачах 117 - 125 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины г / 0, у, г / оо, определить направление поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.

В задачах 48 - 61 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины у 0, у 1, у - оо, определить направление ноля в точках, лежащих на осях координат, указать эбласти возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности эсобых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
В задачах 371 - 420 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые точки и особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины у 0, у, у оо, определить направление поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
В задачах 210 - 217 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые точки и особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины у 0, у - 1, у оо, определить направления поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найти все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
В задачах 153 - 161 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Крши, область существования и единственности; указать особые точки и особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины у - 0, у 1, у оо, определить направления поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
В - задачах 210 - 217 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые точки и особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины г / 0, 1, у оо, определить направления поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найти все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
В задачах 153 - 161 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности; указать особые точки и особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины г / 0, у 1, у - оо, определить направления поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
В задачах 371 - 420 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые точки и особые линии; изу - чить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины г / 0, у - , у оо, определить направление поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок.
Многие задачи современной техники и механики приводят к исследованию систем (0.1) и часто большого порядка. Для этих систем требуется определить порядок роста или убывания решений, выделить на плоскости параметров области заданного экспоненциального убывания решений.
С другой стороны, например, при рассмотрении обтекания тонкого тела удобно ту же картину течения получать, заменяя тело распределенными вдоль его срединной поверхности вихрями. Сосредоточенные особенности типа вихря обеспечивают сразу и нужный порядок убывания решения на бесконечности и создают разрыв касательных скоростей, имеющий место на поверхности тонкого тела.
Собственные значения матрицы А равны Я 1 А. ЛТ Л равны Х11, Я2 - 5, так что при t Q может не быть немедленного убывания решения.
В конце концов, в физике математика применяется не для доказательства того, что реальные процессы действительно осуществляются, а для описания характера этих процессов. Поэтому ядро классической теории линейных УЧП образует третья категория вопросов. Поскольку исследователя интересует, как выглядят решения, и в идеале хотелось бы знать о них все, здесь возникает много различных проблем. Особое внимание уделяется регулярности, локализации особенностей, оценкам в различных нормах. Возникают также вопросы о спектральных свойствах оператора Я, об убывании решений, расположении максимумов или узловых множеств, предельном поведении при возмущениях уравнения или границы ( возможно, весьма сингулярных) и многие другие. Большое число таких проблем рассматривается на этих страницах.
Как мы убедились, для эллиптических уравнений краевая задача ставится на замкнутой поверхности - границе § компактной области D или на бесконечности. Для уравнения теплопроводности требуется одно начальное условие, для волнового уравнения - два. Пусть теперь D с W1 - начальная гиперповерхность t О, где заданы начальные условия. Надо найти то решение, которое одновременно удовлетворяет и начальным, и граничным условиям. Такая постановка называется смешанной краевой задачей. В основном мы будем рассматривать частный случай, когда начальное условие поставлено во всем пространстве D Rn, а граничные условия заменяются требованием убывания решения на бесконечности. Для гиперболических уравнений ставится и задача Коши только с начальными условиями в компактной области, но решение такой задачи не удается продолжить на произвольные времена.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11