Большая техническая энциклопедия
2 3 6
A N P Q R S U
А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
КА КВ КЕ КИ КЛ КН КО КР КС КУ КЫ КЭ КЮ

Классическая математика

 
Классическая математика основана на этих понятиях и в силу отмеченного является негибким инструментом для описания тех граничных явлений, при которых появляется необходимость введения абстракции бесконечного. При этом имеет место неполная адекватность аппарата классического анализа реальному миру, что в отмеченных случаях ставит под сомнение применение этого аппарата как полезного инструмента исследования.
Классическая математика содержит как интуиционистскую, так и неинтуиционистскую часть.
Классическая математика строит теории совершенно не в том смысле, как интуиционистская.
В классической математике встречаются неконструктивные или косвенные доказательства существования, которых не принимают интуиционисты.
Под классической математикой здесь, собственно, понимается арифметика натуральных чисел.
Конкретная теория классической математики, оказав шаяся плодотворной в приложениях, представляет co6oi теоретическую модель, отвечающую на определенные за просы естественных или иных наук.
Чтобы спасти классическую математику от интуиционистской критики, он предложил программу, которую можно предварительно выразить следующим образом: следует сформулировать классическую математику в виде аксиоматической теории и затем доказать непротиворечивость этой теории.
Чтобы защитить классическую математику от интуиционистов, нет надобности стремиться пользоваться меньшим, чем они разрешают. Но естественно придерживаться строго элементарных методов до тех пор, пока они достаточны. Все приведенные в § 13 примеры интуиционистских арифметических рассуждений мы будем считать финитными. Мы увидим, что вплоть до одной отдаленной стадии наших метаматематических исследований будет достаточно интуиционистских методов совсем элементарного рода. Окончательным критерием допустимости некоторого метода в метаматематике должна быть, конечно, его интуитивная убедительность.
То, что классическая математика не может претендовать на полную ясность, доказано наличием парадоксов.
В то время как классическая математика хорошо подходит для описания механических систем, работающих без участия человека, ввиду чрезвычайной сложности систем, работающих с участием человека, в последнем случае необходимы существенно отличные методы, и важную роль в данном случае играет нечеткая математика. Поскольку отдельную индивидуальность и ее мыслительные процессы можно рассматривать как систему с участием человека, то научная деятельность в этой области проводится с использованием упомянутых выше методов. Точно так же исследования научных сообществ и воздействия науки на общество представляют собой примеры систем с участием человека, которые могут быть смоделированы при помощи методов нечеткой математики. Этой области математики посвящено значительное число работ.
Ее средств не хватает для классической математики, так как невозможно доказать существование множества действительных чисел. Мы используем ZF - Р в разд.
Строя теорию множеств на фундаменте классической математики, Кантор и ее цермеловость перенес на создаваемую им теорию, причем на первых порах это казалось ему настолько естественным, что он не видел необходимости как-либо аргументировать свои соображения, связанные с аксиомой выбора.
На этом этапе используются методы классической математики. Следует отметить, что многие физические задачи приводят к таким математическим моделям, разработка теории которых находится в начальной стадии. На практике приходится решать задачи математической физики, для которых не имеется теорем существования и единственности.
Нсли намечено решать уравнения методами классической математики или преобразования Лапласа, то, наоборот, требуется составить одно уравнение суммарного п-го порядка относительно требуемой ( обычно выходной) переменной у. Это уравнение получается исключением других переменных.
На этом этапе используются методы классической математики. Следует отметить, что многие физические задачи приводят к таким математическим моделям, разработка теории которых находится в начальной стадии. На практике приходится решать задачи математической физики, для которых не имеется теорем существования и единственности.

Чтобы иметь дело с понятиями классической математики, достаточно удобными для перехода к соответствующим конструктивным понятиям, мы будем основываться IT а следующих определениях.
Графически и с использованием аппарата классической математики частично решены задачи оптимизации режимов работы К.
Ьсли намечено решать уравнения методами классической математики или преобразования Лапласа, то, наоборот, требуется составить одно уравнение суммарного п-го порядка относительно требуемой ( обычно выходной) переменной у. Это уравнение получается исключением других переменных.
Строя же теорию множеств на фундаменте классической математики, Кантор и ее цермеловость перенес на создаваемую им теорию, причем на первых порах это казалось ему столь естественным, что он не видел необходимости как-либо аргументировать свои соображения, связанные с нею. Пожалуй, лишь с работы 1883 г., анализом которой мы открываем следующий раздел, он начал сомневаться в этом. Его сомнения стали выражаться в том, что он, по-прежнему веря в цермеловость теории множеств, явно утверждая ее и пользуясь теми или иными эквивалентами рассматриваемой аксиомы, пришел к мысли, что эта цермеловость нуждается в каком-то оправдании и даже в какой-то мере пытался доказывать эти эквиваленты или предложения, зависящие от них. К тому же при чтении отдельных мест его работ создается впечатление, что он почувствовал связанную с этой аксиомой неоднозначность и стремился добиться однозначного хода рассуждений.
Эта сумма не часто встречается в классической математике, и для нее не существует стандартного обозначения.
Речь идет, разумеется, о классической математике, Представители интуиционизма, например, считают, что математика имеет другое содержание.
В данном разделе указано лишь несколько предложений классической математики, связанных с аксиомой выбора.
Методы поиска оптимальных решений рассматривают в разделах классической математики, связанных с изучением экстремумов функций, в математическом программировании. Однако решение здесь - математический объект, основным свойством которого является то, что он доставляет экстремум заданной функции или функционалу. Зачастую оценка решения производится по одному аспекту или критерию. На практике решение нужно оценивать с различных точек зрения, учитывая физические ( габариты, вес), экономические ( стоимость, ресурсоемкость), технические ( реализуемые функции) и другие аспекты. Это требует построения моделей оптимизации решений одновременно по нескольким аспектам или критериям. Такие модели разрабатывают в теории выбора и принятия решений. Здесь при постановке задачи уже не достаточно построить оптимизируемые функционалы. Требуется ввести принцип оптимальности, который определяет понятие оптимального решения. Поскольку оптимальность решения даже в одной и той же ситуации может пониматься по-разному, вид принципа оптимальности в моделях принятия решений заранее не фиксируют.
Методы поиска оптимальных решений рассматриваются в разделах классической математики, практическое использование математических методов при поиске оптимальных решений было ог ] моделирование, и нахождение реальных оптимальных решений практически невозможны.
Функции 1 и 6 не удовлетворяют требованию классической математики и требуют некоторых обобщений в определениях операций анализа. Впрочем, для всех рассматриваемых в этом курсе действий с функциями / и б вполне достаточно определений, данных в тексте.
Наряду с рассмотренными методами, базирующимися на достижениях классической математики, в последнее время для отдельных математических функций разработан ряд специализированных методов, учитывающих особенности представляе-мых функций и процесса вычисления в ЭВМ.
Математический анализ изучает функциональные зависимости и является той частью классической математики, которая является основой почти для любой математической дисциплины. Поэтому не случайно, что он обычно является первым серьезным курсом высшей математики, с которым приходится сталкиваться учащемуся. Задачей этого курса является не только сообщение известного запаса сведений ( определений, теорем, их доказательств, связей между ними, методов решения задач) и обучение их применению. В его задачу входят развитие у учащихся логического мышления и математической культуры, необходимых для изучения математики ( да и вообще для проведения научно-исследовательской работы), развитие математической ( аналитической и геометрической) интуиции. Наконец, курс математического анализа идейно готовит читателя к изучению других математических методов, других математических дисциплин.
Для формалистской позиции будет затруднительным объяснить, каким образом неинтуиционистская классическая математика оказывается осмысленной, если согласиться с интуиционистами в том, что ее теоремам недостает реального смысла, в терминах которого они были бы истинны.
Этот аппарат ощутимо отличается от агтпа рата логического вывода классической математики.
Важно подчеркнуть, что такие преимущества перед соответствующей теорией классической математики достигаются в результате перехода к рассмотрению лишь конструктивно определяемых объектов и одновременного отказа от использования представлений об актуально бесконечных множествах - эти методологические принципы, вводя математическое мышление в русло более госязаемых, чем в классической математике, понятий и уменьшая произвол человеческого воображения, приводят к таким усовершенствованиям математических теорий, которые могут облегчить применение математики к задачам прикладного характера. Однако упомянутые выше серьезные дополнительные требования, предъявляемые к теориям конструктивном математики, в значительном числе случаев приводят к существенным, иногда радикальным расхождениям даже во внешнем облике теоретических моделей, предлагаемых для одной и той же ситуации конструктивной математикой и классической математикой.

Переосмысливание на основе принципов конструктивной математики уже сформировавшихся разделов классической математики составляет лишь одно из направлений развития конструктивной математики. Интенсивно развиваются и математические теории, формирующиеся под воздействием проблем, специфичных именно для конструктивной математики.
В уже освещенной нами работе А. Н. Колмогорова [1] всякое предложение П классической математики отображалось в предложение П псевдоматематики, к которому заведомо был применим закон исключенного третьего.
Важную роль при создании таких доказательств в ближайшие годы начнет играть классическая математика и функциональный анализ, теория чисел и теория множеств.
Ван Данциг [1947] предлагает исследовать, в какой мере дальнейшей построение классической математики можно провести в пределах интуиционистской, наподобие только что доказанной возможности такого построения для всей обыкновенной элементарной арифметики.
Заметим, что, по А. Н. Колмогорову, отображение всей известной нам классической математики происходит даже не па всю интуиционистскую, а только в некоторую ее4 часть.
При решении сложных экстремальных задач математическое программирование окончательно отказалось от положения классической математики, согласно которому требовалось обязательно аналитическое, формульное решение, выраженное по возможности через известные в анализе функции. Считается достаточным алгоритмическое решение, четко описывающее последовательность производимых операций.
Примером ситуации ( 2) может служить употребление исчисления высказываний в классической математике.
Процесс развития базисных разделов конструктивной математики и процесс переосмысливания на конструктивной основе классической математики Стимулируют и обогащают друг друга, и именно сочетание этих двух процессов формирует облик конструктивной математики а целом.
Изложение материала ведется на уровне строгости, принятом в настоящее время в классической математике. Исключение сделано лишь для некоторых вопросов теории поля, связанных, например, с так называемым правилом штопора, изложенным менее строю.
Обратимся теперь к вопросу, как велика та роль, которую в классической математике играют неинтуиционистские методы.
Название метода классический отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики.
В этой математике, по-своему очень заманчивой, встречаются понятия и различия, которых нет в классической математике.
К сожалению, при таком программном описании мы не располагаем дедуктивными методами, сравнимыми с дедуктивными методами классической математики. Возможно, когда-то этот недостаток будет частично преодолен, и мы найдем мощные методы, которые дадут возможность делать выводы о результатах работы программ.
Формализм возникает в результате дальнейшего шага, направленного на преодоление кризиса, причиненного парадоксами и тем вызовом классической математике, который был брошен Брауэром и Вейлем.
Действительно, единственным позитивным утверждением в основаниях математики, против которого я выступаю, является утверждение, что классическая математика имеет ясный смысл.

Ввиду этой аналогии напрашивается следующий вопрос: если бы удалось найти доказательство непротиворечивости в гильбертовском смысле для части классической математики, содержащей как действительные, так и идеальные предложения-могли бы мы тогда заключить, что действительные предложения, доказанные при помощи идеальных, истинны интуиционистски. Вопрос о том, в какой мере можно было бы прийти к такому заключению, мы рассмотрим впоследствии ( конец § 42, конец § 82); это будет зависеть от того, какие рассуждения охватываются доказательством непротиворечивости и какие предложения берутся в качестве действительных. В той мере, в какой это заключение было бы возможно, успешное выполнение гильбертовской программы позволило бы применять классическую математику в интуиционистских доказательствах.
Заканчивая разъяснение шестого положения, обратим внимание на существующую большую опасность в тенденции, которая, прикрываясь модернистским лозунгом классическая математика устарела.
 
Loading
на заглавную к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11