Большая техническая энциклопедия
2 3 6
A N P Q R S U
А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
ЧА ЧЕ ЧИ ЧУ

Чистая математика

 
Чистая математика благополучно развивается как по преимуществу наука о бесконечном. И сам основатель концепции формализованной полностью финитной математики Гильберт предпринял свой титанический труд лишь для того, чтобы обеспечить за математиками право оставаться в канторовом парадизе теории множеств.
Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть - весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира.
Чистая математика и физика становятся связанными все теснее, хотя их методы и остаются различными. Можно сказать, что математик играет в игру, в которой он сам изобретает правила, в то время как физик играет в игру, правила которой предлагает Природа, однако с течением времени становится все более очевидным, что правила, которые математик находит интересными, совпадают с теми, которые избрала Природа. Трудно предсказать, каков будет результат всего этого. Возможно, оба предмета в конце концов сольются, и каждая область чистой математики будет иметь физические приложения, причем их важность в физике станет пропорциональна их интересности в математике. Кажется, что это пророчество Дирака.
Чистая математика всегда далеко опережала развитие своих приложений как по содержанию, так и по форме. Греки не только развили и дополнили наследие вавилонян, но и создали нечто совершенно новое.
Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира.
Чистая математика, как это неоднократно отмечалось, представляет собой теорию математических структур, которые изучаются сами по себе без связи с реальными явлениями ( физическими, химическими, биологическими, экономическими, социальными или какими-либо еще), которые они могут, но не обязаны, моделировать. При этом для чистой математики, как правило, характерно, что исследования ( качественные и количественные) приводятся с достаточной общностью, изучаются не отдельные конкретные объекты, а определенные классы объектов, устанавливаются общие методы и алгоритмы решения широкого круга задач.
Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действитель-нбго мира стало быть, - весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира.
Термин чистая математика, выражающий выделение формальных математических операций, имеет то привходящее значение, что этот вид умственной деятельности является более чистым, более искусством для искусства и, таким образом, более идеалистическим, чем другой вид деятельности, который теснее связан с закономерностями, присущими физическому миру. Это дополнительное значение едва ли основательно, и оно могло быть устранено при более точной терминологии. Однако мы часто продолжаем употреблять слова, даже если они были выдуманы неудачно, навеяны ассоциациями, которые не получили научного оправдания.
Что чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности, это, конечно, верно, но то же самое можно сказать о всех твердо установленных фактах любой науки и даже о всех фактах вообще.
Что чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности, это, конечно, верно, но то же самое можно сказать о всех твердо установленных фактах любой науки и даже о всех фактах вообще.
Что чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности, это, конечно, верно, но то же самое можно сказать о всех твердо установленных фактах любой науки и даже о всех фактах вообще. Магнитная полярность, состав воды из водорода и кислорода, тот факт, что Гегель умер, а г-н Дюринг жив - все это имеет значение независимо от моего опыта или опыта других отдельных личностей, даже независимо от опыта г-на Дюринга, когда последний спит сном праведника. Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира.
В чистой математике, - утверждает г-н Дюринг, - разум имеет дело с продуктами своего собственного свободного творчества и воображения; понятия числа и фигуры представляют собой достаточны.
В чистой математике были созданы три алгоритма, которые должны были устранить некоторые недостатки стандартного разложения в ряд Фурье. Эти трудности возникают тогда, когда необходимо измерить степень гладкости функции. Например, простейшие нормы, основанные на квадратичных оценках, могут быть легко извлечены из коэффициентов Фурье.
Теперь существуют чистые математики, которые по вопросам измерения отсылают дидактов к математической теории меры. Так идет дело, я полагаю, уже в течение 15 лет.
С позиций чистой математики обе задачи, в общем, одинаково важны. Однако для приложений важнее изучение дискретного спектра, поскольку целый ряд имеющих принципиальное значение проблем ядерной физики, квантовой механики и квантовой химии упирается именно в строгий математический анализ дискретной части спектра многочастичных гамильтонианов.

В противоположность чистой математике, где величины по определению обладают теми свойствами, которые им произвольно приписаны, в физике необходимо не приписывать, а открывать отдельные объективно существующие свойства.
Различие между прикладной и чистой математикой существенно проявляется также и в требованиях к однозначности определений, применяемых понятий и утверждений. Одним из основных принципов чистой математики является то, что все свойства любого изучаемого понятия должны вытекать только из его формального определения и как бы потенциально уже заключенного в нем. Соответственно все утверждения должны включать только формально определенные понятия и такие логические соотношения, которые полностью предопределяют справедливость или ложность каждого утверждения.
Согласно современным воззрениям чистая математика представляет собою гипотетически-дедуктивное учение об отношениях, она разрабатывает теорию чистых логических форм, не заботясь о той или иной из возможных конкретных интерпретаций.
В мировой схематике чистая математика возникла из чистого мышления; в натурфилософии она - нечто совершенно эмпирическое, взятое из внешнего мира и затем обособленное.
В мировой схематике чистая математика возникла из чистого мышления; в натурфилософии она - нечто совершенно эмпирическое, взятое из внешнего мира и аател.
В мировой схематике чистая математика возникла из чистого мышления; в натурфилософии она - нечто совершенно эмпирическое, взятое из внешнего мира и затем обособленное.
Согласно определению Энгельса чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира ( Анти-Дюринг), Сообразно этому математика, в общих чертах, делится на Геометрию и Анализ.
Уже на уровне чистой математики можно заметить, что результаты расчетов по формуле ( 26) только случайно могут совпадать с результатами дисконтирования. Например, согласно формуле Гордона, денежный поток в размере 1 долл.
В абстрактном мире чистой математики фрактальные структуры рассмотренного нами типа принято называть упорядоченными фракталами. Разумеется, в реальном мире никаких упорядоченных фракталов не существует. Береговые линии, деревья, реки, облака, молнии, траектории частиц в броуновском движении и тысячи других фракталоподоб-ных явлений можно рассматривать как несовершенные модели, которые в определенных пределах сверху и снизу являются фракталами в статистическом смысле. Самоподобие их проявляется в том, что они сохраняют статистическое подобие независимо от масштаба. Фрактальные размерности при различных масштабах подлежат усреднению, и, для того чтобы проводить такое усреднение, необходимо накопить достаточно обширный запас эмпирических данных. Такие фракталы называются случайными, или статистическими. Например, береговые линии имеют фрактальные размерности, которые изменяются от побережья к побережью.
Даже в области чистой математики на счету у компьютеров имеется ряд замечательных достижений, особенно в теории конечных групп. Однако в этой области мало задач, пригодных для машинных вычислений, и даже среди этих немногих большинство требует для решения слишком много времени; быстродействия современных ( а скорее всего, и завтрашних) компьютеров для решения таких задач еще недостаточно.
Роль и значение прикладной и чистой математики в жизни общества совершенно различны. Уровень развития прикладной математики в стране, наличие современной электронно-вычислительной техники и умение ее использовать составляют один из важных показателей экономической мощи страны. Эта специфика прикладной математики влечет за собой и особенности работы прикладных математиков, их большую ответственность за получаемые ими результаты, так как допущенная ошибка в проведенных ими расчетах может дорого обойтись людям.
Ученый, занимающийся чистой математикой, в первую очередь исследовал бы форму разложения и условия, при которых оно возможно. В прикладной математике как форма разложения, так и ее применимость зачастую просто принимаются. Однако не всегда ясно, какова эта форма, и поэтому легко принять неправильную форму ( ср. Карслоу [17], где опущен постоянный член; см. также соотношение (8.3) гл. Одно из преимуществ метода преобразования Лапласа заключается в исключении ошибок такого типа.
Интересно заметить, что чистые математики, движимые только чувством стройности и математической формы, часто приходили к выводам, которые в дальнейшем оказывались чрезвычайно важными для науки.
По определению Энгельса, чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира...
Конспекты Лобачевского по преподаванию чистой математики на 1824 - 1825 г. и на 1825 - 1826 г. начинаются каждый вступительной статьей, озаглавленной Способ преподавания вообще. В обоих конспектах содержатся почти одни и те же мысли; во втором конспекте они изложены несколько более сжато, более концентрированно.

Развитие идей и методов чистой математики позволило, создав математическую теорию динамики, пролить свет на многие истины, открытие которых было бы невозможно без математической подготовки. И если нам предстоит построение динамической теории для других областей науки, мы должны проникнуться в равной мере и математическими методами, и этими динамическими истинами.
Значение работ Шеннона для чистой математики не сразу было достаточно оценено. Мне вспоминается, что еще на международном съезде математиков в Амстердаме ( 1954 г.) мои американские коллеги, специалисты по теории вероятностей, считали мой интерес к работам Шеннона несколько преувеличенным, так как это более техника, чем математика. Сейчас такие мнения вряд ли нуждаются в опровержении.
И с точки зрения чистой математики, выражение ( 13) представляет собой универсальную алгебраическую функцию, применимую для описания как линейных, так и сложных нелинейных закономерностей. Она может успешно заменить применяемый в кибернетике эмпирический математический язык черного ящика. Автор благодарен профессорам М.Ю. Доломатову и Т.Г. Умергалину, аспирантам А.С. Ка, Т.М. Зидиханову и Е.О. Астаховой за участие в развитии нового направления исследований по моделированию физико-химических свойств веществ. Весьма признателен автор профессору И.Р. Ку-зееву за поддержку и помощь в издании этой работы в эти нелегкие для отечественной науки времена.
Ясно, что кроме чистой математики необходимо еще что-то, чтобы понять, почему природа входит в противоречие с нами только в тех процессах, в которых энтропия возрастает, хотя обратные процессы также совместимы с микроскопическими уравнениями движения.
Это различение существовало для современной чистой математики, так как иначе математическая аргументация может стать путаной и неясной из-за контакта с путанной природой. Однако современные физики могут прямо и честно оспаривать указанное различение понятий, так как их практикой и желанием может быть сохранение математических понятий в неразрывном смешении с физическими понятиями, как изобильном источнике новых идей.
Однако роль и значение прикладной и чистой математики в жизни общества совершенно различны. Уровень развития прикладной математики в стране, наличие современной электронно-вычислительной техники и умение ее использовать составляют один из важных показателей экономической мощи страны. Эта специфика прикладной математики влечет за собой и особенности работы прикладных математиков, их боль - шую ответственность за получаемые ими результаты, так как допущенная ошибка в проведенных ими расчетах может дорого обойтись людям.
Поэтому часто резко разграничивают чистую математику, поскольку она особенно способствует развитию мышления, не имея никакого отношения к физическим объектам, и прикладную, утилитарно направленную и потому развивающую интеллект в меньшей степени.
Штейнгауз изучал так называемую чистую математику, а также различные дисциплины, объединенные под общим названием прикладная математика, и астрономию.
У специалиста, занимающегося чистой математикой, может возникнуть опасение, что мы не сможем решить (24.79), если m близко к собственному значению ц, матрицы А, так как тогда А - ml почти вырожденна. Мы позволим себе заверить его, что это не вызывает трудностей. Если ak существенно отличается от нуля, единственное, что нужно сделать при малом ik - m, - это изменить масштаб вектора решения.
С незапамятных времен физики и чистые математики работали в определенном согласии друг с другом относительно их доли участия в изучении природы. Затем, когда сцена была подготовлена, физики выводили действующих лиц: материальные тела, магниты, электрические заряды, свет и так далее, и представление начиналось. Однако, согласно революционной концепции Эйнштейна, действующие лица теперь сами готовят подмостки, появляясь на них: геометрия уже не предшествует физике, а неразделимо слита с ней в единый предмет.
Сам Нейман перешел от вопросов чистой математики к математической физике под влиянием работ Фурье.
Именно развитие идей и методов чистой математики сделало возможным разработку математической теории динамики и тем самым способствовало пролитию света на целый ряд истин, которые не могли быть открыты без математического исследования. Поэтому, если перед нами стоит задача разработать динамические теории других областей науки, мы должны пропитать наши мысли этими динамическими истинами в той же мере, как и математическими методами.
А идеи Галилея в вопросах чистой математики были весьма оригинальны, как видно из его замечания, что число квадратов не меньше, чем множество всех чисел, и последнее не больше, чем первое.
Поскольку математика едина, то чистую математику и численные методы следует изучать как единое целое. Это естественно, ибо теоретические качественные и численные методы решения задач тесно переплетены между собой, причем численные методы базируются на тех или иных теоретических изысканиях, излагаются на языке абстрактных математических понятий.
Поскольку математика едина, то чистую математику и численные методы следует изучать как единое целое. Это естественно, ибо теоретические качественные и численные методы решения задач тесно переплетены между собой, причем численные методы базируются на тех или иных теоретических изысканиях, излагаются на языке абстрактных математических понятий. В силу всего сказанного численные методы разумно изучать на основе теоретического курса, а не подменять теоретический курс изложением набора отдельных рецептов численного решения задач.

Все свойства решений задачи в чистой математике, так же как и свойства понятий, потенциально полностью предопределяются ее формулировкой. Любое изменение формулировки в чистой математике означает переход к новой задаче. В отличие от этого в прикладной математике понятия и утверждения часто имеют тот же характер, что и в нематематических дисциплинах.
Теперь уже всеми признано, что чистая математика, может привести к неожиданным выводам и даже оказать влияние на повседневную жизнь. Может ли существовать цепочка мыслей, приводящая к заглавию этого очерка. Я думаю, что да, хотя, конечно, с некоторыми натяжками; именно, я хочу представить себе одно или два правдоподобных изменения в ходе истории математики.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11