Большая техническая энциклопедия
0 1 3 4 9
D V
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Э Ю Я
КА КВ КЕ КИ КЛ КО КР КУ

Касательное пространство

 
Касательное пространство к евклидову пространству в каждой точке само имеет естественную евклидову структуру.
Касательное пространство в каждой точке симплектического многообразия является симплектическим векторным пространством. Условие замкнутости в определении симплектической структуры связывает кососкалярные произведения в касательных пространствах к соседним точкам таким образом, что локальная геометрия симплектических многообразии оказывается универсальной.
Касательные пространства предполагаются непересекающимися.
Касательное пространство к сфере Sn в р обозначим через Тр. Так как, сверх того, множество f - l ( р) не содержит точки q, то Mk - ф / 1 ( р) есть гладкое замкнутое подмногообразие евклидова пространства J. Отображение / ф 1 многообразия Еп 1 в многообразие S правильно в каждой точке х ЕЕ Мл. Полную нормаль и полную касательную к многообразию Mk в точке х обозначим соответственно через Nx и Тх.
Касательное пространство к этому многообразию в точке у ( являющейся геодезической) может быть описано следующим образом.
Касательный вектор.| Касательное пространство TqM. Касательное пространство не зависит от координат, так как гладкие замены переменных порождают линейные преобразования касательного пространства.
Гладкое многообразие. Касательное пространство к X в точке х - это Г - у ( w) ( Кш) - Определение 8.3, однако, не утверждает, что отображение ф в каком-либо смысле единственно.
Касательное пространство многообразия X в точке я обозначается через ТХ ( Х), а дифференциал отображения f: X - Y в точке х - через dxf. Во многих случаях, когда ясно, какая точка имеется в виду, индекс в обозначениях касательного пространства и дифференциала опускается.
Касательный вектор.| Касательное пространство TqM. Касательное пространство абстрактного многообразия в точке определяется как множество векторов скорости всех гладких кривых на многообразии, выходящих из этой точки.
Эти касательные пространства склеены между собой очевидным гладким способом, так что если ф ( е) - произвольная гладкая кривая, то касательные векторы ф ( е) е ТМ Ч ( Ъ) будут гладко меняться от точки к точке.
Рассмотрим касательное пространство 2J P к Р в этой точке. Оно содержит подпространство Vp, состоящее из векторов касательных к слою.
Поэтому касательное пространство Т Р есть прямая сумма так определенного горизонтального подпространства и вертикального подпространства.

Независимость касательного пространства от системы координат не совсем очевидна, так как нарисованная в области М стрелочка ( приложенный вектор) при диффеоморфизме изгибается.
Между касательными пространствами ТА Е, TB E в точках А, В евклидова пространства Е имеется канонический изоморфизм, называемый параллельным переносом.
В касательном пространстве верхние индексы нумеруют элементы i - компоненты.
В касательном пространстве естественным образом вводится структура ( многообразия.
При этом касательное пространство к ней совпадает с подпространством, на котором все формы пфаффовой системы обращаются в нуль.
Повторяем: касательное пространство состоит в точности из векторов указанного вида, и в дальнейшем мы будем использовать этот факт - как и его аналог для более широкой группы G 1 - не делая специальных оговорок.
Следовательно, касательное пространство ТР ( М) - это пространство, изоморфное всем арифметическим пространствам координат касательных векторов.
Соответствующее отображение касательного пространства на многообразие переводит обычное дифференциррвание в точке А в ковариантное.
Нетривиализуемое векторное расслоение. Структурой многообразия касательного пространства Т ( М) определяется, в каких случаях векторы в соседних точках непрерывно переходят друг в друга. Это позволяет ввести следующее определение.
Этого отождествления касательного пространства Тап ( Х) х с двойственным пространством ( М / М2) еще недостаточно для введения понятия касательного пространства внутренним образом.
Выделим в касательном пространстве T. Это подпространство называется вертикальным. Набор подпространств V является подрасслоением касательного расслоения ( т.е. распределением) на L, причем это подрасслоение тривиально.
В каждом касательном пространстве Тх ( М - п) возникает структура симплектич. Все касательные к М2 реперы, адаптированные к С.
В каждом касательном пространстве Мх финслерова метрнч. Фундаментальное значение понятия индикатрисы видно уже из того, что вследствие однородности фипслеровой метрнч. В римановом случае индпкаTJIHCOU является сфера.
Это и есть касательное пространство.

Покажите, что касательное пространство Т М имеет естественную структуру / с-мерного линейного пространства.
X, то касательное пространство к X в точке х - это касательное пространство в точке х к параметризованному многообразию X f ] V, где V - окрестность точки х из определения 8.1. Это касательное пространство обозначается Хх. Прежде чем двигаться дальше, нам нужно проверить, что это определение имеет смысл. X есть окрестность V, такая что X ( ] V - параметризованное многообразие.
Заметим, что касательное пространство к линейному пространству Ж в любой точке естественно отождествляется с самим линейным пространством.
Каждрй точке В касательного пространства П ( А) поставить в соответствие точку на многообразии по следующему правилу: из точки касания А по вектору АВ выпустить геодезическую н ввести на ней канонический параметр так, чтобы производная по нему в точке А совпадала с вектором АВ; взять точку, соответствующую значению т - I. Это отображение называют экспонентов. Показать, что его производная не вырождена.
Касательное пространство. Это пространство называется касательным пространством в точке х к области М и обозначается ТХМ.
А раз в касательном пространстве Т М, которое мы отождествляем с D. Хотя указанное отождествление может быть получено лишь с точностью до элементов из SO ( 4), это не доставит нам никаких хлопот, поскольку рассматриваемые нами геометрические объекты - формы 1Я и преобразования Тя - являются SO ( 4) - инвариантными.
Далее, б) касательное пространство к Yk 1 в точках начального многообразия Tk лежит в плоскости поля.
До сих пор наше касательное пространство ТИХ - это просто множество, не наделенное какой-либо дополнительной структурой.
Q оставляет одномерное подпространство касательного пространства инвариантным. Пусть g fj tn ffl / ( прямая сумма векторных пространств) есть ( adf)) - инвариантное разложение алгебры Ли g, где т и ш - подпространства размерности 1 и п - 1 соответственно.
Обозначим через TfQM подпространства касательного пространства TCQM, порожденные собственными векторами индексной формы D2Ea ( с), отвечающими соответственно положительным и отрицательным собственным значениям. Геодезическая с как критическая точка в Еа ( с) называется невырожденной, если D EQ ( с) не имеет собственных значений, равных нулю.
Это линейное пространство называется касательным пространством к М в х и обозначается ТХМ.
Пересечение этого распределения с касательным пространством тора Т2 дает слоение тора с трансверсальной мерой. В частности, возникают число вращения и пара инвариантных функций. Итак, ростки окрестностей почти комплексных торов имеют естественные модули. Именно в терминах инвариантов, возникающих на этом пути, и требуется искать препятствия к деформации псевдоголоморфных торов.
Касательный вектор.
Это линейное пространство называется касательным пространством к М в х и обозначается ТМХ.
Это - прямая в касательном пространстве ТХМ. Возьмем любой ненулевой вектор этой прямой.
Для римановых многообразий, наделяя касательное пространство плоской метрикой ( см. определение 9.17), можно показать, что экспоненциальное отображение не уменьшает длин касательных векторов ( точную формулировку см. Бишоп и Криттенден ( 1967, с. Сопоставляя якобиевы поля на данном римановом многообразии с якобиевыми полями в R и используя теорему сравнения Рауха, можно получить простое доказательство этого факта. Для доказательства аналогичных результатов для пространств с неотрицательной времениподобной секционной кривизной мы воспользуемся времениподобной теоремой сравнения Рауха ( см. Флаэрти ( 1975а, с. Интуитивно ясно, что приведенное ниже следствие 10.12 выражает тот факт, что если времениподобные секционные кривизны ( М, g) положительны, то направленные в будущее времениподобные геодезические, исходящие из данной точки, разбегаются в М быстрее, чем соответствующие геодезические в пространстве-времени Минковского. Напомним, что канонический изоморфизм Т0 определен в разд.
Обозначим ТМ х и ТЕУ касательные пространства к этим многообразиям в точках х е Л /, у е Е соответственно.
Пространство Vcm у, как касательное пространство к векторному пространству Tff 1ч, канонически изоморфно самому пространству ТтМ; обозначим через р: АГ ( т X) - TmM указаниь канонический изоморфизм.
Здесь алгебра Ли рассматривается как касательное пространство в единице группы.
Ортогональное дополнение в М к касательному пространству в точке Н орбиты гамильтониана Н совпадает с централизатором ZH X G М [ X, Н ] 0 гамильтониана Н в алгебре Ли квадратичных гамильтонианов.
Горизонтальное подпространство е б изоморфно касательному пространству ТХ.
Но с помощью Qd в касательном пространстве Т ( М) можно ввести топологию листа Мебиуса ( см. ( 2.2.16 3)), в результате чего топологически Т ( М ] не представимо в виде произведения Т ( М) / М х Rm. Но если Т ( М) как многообразие диффеоморфно М х Rm, то многообразие М называется параллелизуемым, поскольку произведение карт позволяет в этом случае определить, что такое параллельность ( и даже тождественность) касательных векторов в различных точках. Локально Т ( М) всегда есть произведение многообразий.
Это равенство имеет место в касательном пространстве к G в точке р ( уб), причем точка в правой части обозначает соответственно левый и правый переносы.
Линеаризация в окрестности положения равновесия. Линеаризованное векторное поле живет в касательном пространстве исходного фазового пространства в положении равновесия.
В § 2 мы нашли эти касательные пространства более простым рассуждением, а в предыдущем абзаце более простым вычислением - теперь рассуждение проведено раз и навсегда. Нужно только распространить его на случай многих переменных.
 
Loading
на заглавную 10 самыхСловариО сайтеОбратная связь к началу страницы

© 2008 - 2014
словарь online
словарь
одноклассники
XHTML | CSS
Лицензиар ngpedia.ru
1.8.11